Lokalisierung / Inverse < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 20.03.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
ich habe eine - wahrscheinlich sehr simple - Frage:
Es geht um Lokalisierung. Man nehme also einen Ring $A$ und eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge $S$ und definiere die Lokalisierung [mm] $S^{-1} [/mm] A$ standardmäßig.
Meine Frage:
1) Wie zeigt man, dass [mm] $\bruch{s}{1} \in S^{-1} [/mm] A$ mit $s [mm] \in [/mm] S$ invertierbar ist?
2) Gilt allgemein $ [mm] \bruch{x}{y} \in S^{-1} [/mm] A$ invertierbar [mm] $\gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] S$ ? Warum?
Ich danke Euch vielmals,
Liebe Grüße
cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 20.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1) Wie zeigt man, dass [mm]\bruch{s}{1} \in S^{-1} A[/mm] mit [mm]s \in S[/mm]
> invertierbar ist?
Es gibt doch ein "offensichtliches" Inverses, nämlich [mm]\bruch{1}{s}[/mm]! Jetzt multiplizieren und zeigen, dass [mm]\bruch{s}{s}=\bruch{1}{1}[/m] ist.
S^{-1} A[/mm]
> 2) Gilt allgemein [mm]\bruch{x}{y} \in S^{-1} A[/mm] invertierbar
> [mm]\gdw y \in S[/mm] ? Warum?
Nun ja, zum einen sind die Elemente dort einfach so definiert, dass [m]y\in S[/m] ist, oder meinst du hier einfach Elemente, die in [mm]S^{-1} A[/mm] invers sind? Nun ja, falls das Element schon vor der Lokalisierung in A inv.bar war, ist es auch dort, muss aber nicht in S liegen, zB -1 wenn man [m]\IZ[/m] bzgl. der geraden Zahlen lokalisiert.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Do 01.04.2010 | | Autor: | cantor |
Hi Secki,
danke für deine Antwort. Manchmal sieht man bekanntlich den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Grüße
cantor
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