Lorentztransf. (Rel.Theorie) < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Bluemoon |
| Aufgabe | Die Homogene Lorentzgruppe ist die Gruppe der 4x4 Matrizen [mm] \lambda [/mm] mit der Eigenschaft [mm] \lambda^{T}g\lambda=g, [/mm] wobei g der metrische Tensor ist. Beweisen sie die folgenden Behauptungen:
a) Die homogene Lorentzgruppe ist abgeschlossen, das heißt mit [mm] \lambda^{T}g\lambda=g [/mm] und [mm] \lambda^{'T}g\lambda^{'}=g [/mm] folgt für [mm] \lambda^{''}=\lambda\lambda^{'}: \lambda^{''T}g\lambda^{''}=g
[/mm]
b) [mm] det(\lambda)=\pm1
[/mm]
c) [mm] (\lambda_{0}^{0})^{2}\ge1. [/mm] Für welche Transformationen gilt [mm] (\lambda_{0}^{0})^{2}=1? [/mm] |
Meine Fragen dazu:
a) Wie wo was? Absolut keinen Plan was von mir verlangt wird :o) Allein die Notation verwirrt etwas (ist [mm] \lambda^{'} [/mm] ein anderes [mm] \lambda [/mm] oder eine Nacheinanderausführung? Mathematiker haben hier wohl mehr Durchblick :o|
b) Habe ich - so glaube ich - gelöst durch einfache Determinantenmultiplikation:
[mm] det(g)=det(\lambda^{T}g\lambda) [/mm] wegen den Beziehungen det(AB)=det(A)det(B) und [mm] det(A^{T})=det(A) [/mm] folgt damit
unmittelbar [mm] det(g)=det(\lambda)^{2}*det(g) [/mm] und daraus das gesuchte [mm] det(\lambda)=\pm1 [/mm] Geht mir bisschen fix, ist da ein logischer Fehler drin? :o)
c) In einem Buch habe ich dazu bisher folgendes gefunden: [mm] g^{0}_{0}=1=(\lambda^{T}*g*\lambda)^{0}_{0}=(\lambda^{0}_{0})^{2}- \summe_{i=1}^{3}(\lambda^{i}_{0})^{2} [/mm] Daraus folgt dann unmittelbar die zu beweisende Beziehung. Beim ersten und zweiten Gleichheitszeichen kann ich noch folgen. Woraus das dritte Gleichheitszeichen folgt, habe ich selbst nach 2 Stunden Buchrecherche nicht rausbekommen können. Kann jemand erklären? :o( Und was für Transformationen wären das dann, bei denen der Summenterm offensichtlich 0 ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Bluemoon,
deine Antwort zu b) ist exakt das, was mir auch auf Anhieb eingefallen ist.
Bei a) sollen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda' [/mm] zwei (nicht zwangsläufig verschiedene) Lorentz-Trafos sein. Du sollst zeigen, dass der metrische Tensor erhalten bleibt, wenn du nacheinander zwei solche Transformationen durchführst. Der Beweis sollte ähnlich schwierig sein wie bei der b) 
Das dritte Gleichheitszeichen bei c) ist auch kein Problem. Du bist nur nicht auf die Idee gekommen, dass man das Produkt [mm] (\lambda^T{g}\lambda) [/mm] ja ausmultiplizieren kann. Dessen Eintrag [mm] (.)_0^0 [/mm] ist dann zwangsläufig gleich [mm] $\lambda_0^0-\sum_{i=1}^{3}(\lambda_0^i)^2$.
[/mm]
Die Summe kann logischerweise nur dann Null sein, wenn für i=1,2,3 jedes [mm] \lambda_0^i [/mm] gleich Null ist. Welche besonderen Lorentz-Transformationen haben denn diese Eigenschaft?
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Bluemoon |
Hallo und vielen Dank für deine Hilfe soweit.
a) und b) habe ich jetzt damit soweit hinbekommen.
Könntest du bei c) allerdings das ausmultiplizieren bitte nochmal genauer ausführen? (ich komme mit aller Gewalt nicht - so einfach - auf den Eintrag [mm] (.)_{0}^{0} [/mm] eines Produktes aus 3 Matrizen.)
Und ja, welche spezielle Lorentztransformationen wären dass denn dann?? Im Prinzip heißt der Summenterm ja nur, dass die 0-te Spalte der LorentzTransformationsmatrix ausschließlich das erste (Zeit-) Element enthält. Oder steckt da noch viel mehr drin? Das könnte ja trotzdem sonstwas für eine Transformation sein.
Oder hieße das, die Zeit transformiert sich völlig unabhängig von den Raumelementen transformiert.. was bliebe dann übrig? (Zeitumkehr oder sowas) Ich komm nicht so recht weiter :o(
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Hallo Bluemoon,
leider war ich lange nicht mehr hier im Forum, deshalb konnte ich deine Frage nicht beantworten.
Diese besonderen L-Transformationen "vermischen" die Zeitkomponente nicht mit den drei Raumkomponenten. Es handelt sich also um eine Drehung oder Spiegelung im Raum. (Hier ist also die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Intertialsystemen gleich Null.)
Hugo
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