Lot und Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (-2;2;1) von der Gerade g:x= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] +t [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ! |
Habe es so probiert: Aufstellen der Gleichung einer Hilfsebene E, die durch P geht und zu g orthogonal ist.
Der Richtungsvektor g ist Normalevektor von E, d.h. E: [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = b liefert b=5; einsetzten des Punktes P
E: [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 5
Und nun muss ich den Punkt P da einsetzen um t zu berechen....Wie geht denn das? Habe nicht oft mit der Koordinatenform zu tun. Irgendwie komm ich nicht weiter....
Aber gibt`s vielleicht noch einen anderen (einfacheren) Weg um den Abstand eines Punktes von einer Gerade zu bestimmen?
Vielen Dank schonmal im vorraus. LG Markus
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Hallo Markus110,
> Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (-2;2;1) von der
> Gerade g:x= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] +t
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] !
> Habe es so probiert: Aufstellen der Gleichung einer
> Hilfsebene E, die durch P geht und zu g orthogonal ist.
> Der Richtungsvektor g ist Normalevektor von E, d.h. E:
> [mm]2x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = b liefert b=5; einsetzten des Punktes P
>
> E: [mm]2x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 5
>
> Und nun muss ich den Punkt P da einsetzen um t zu
> berechen....Wie geht denn das? Habe nicht oft mit der
> Koordinatenform zu tun. Irgendwie komm ich nicht
> weiter....
> Aber gibt's vielleicht noch einen anderen (einfacheren)
> Weg um den Abstand eines Punktes von einer Gerade zu
> bestimmen?
Um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden [mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm] zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Wir wissen das das Lot von P auf die Gerade g gefällt werden muß d.h. der Vektor [mm]\overrightarrow{XP}=\overrightarrow{OP}-\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)[/mm]
muß orthognal zu dem Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{b}[/mm] sein.
Demnach muß folgende Gleichung gelten:
[mm]\left(\overrightarrow{OP}-\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)\right) \* \overrightarrow{b} = 0[/mm]
Also das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muß 0 sein.
Daraus erhältst Du nun den Parameter t.
Demnach ergibt der Abstand des Punktes P von der Geraden g zu:
[mm]d\left(P,g\right)=\vmat{\overrightarrow{OP}-\left(\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}\right)}[/mm]
Eine andere Berechnungsmethode geht über das Vektorprodukt.
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> Vielen Dank schonmal im vorraus. LG Markus
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower. Danke für die flotte Antwort. Habe mit der Deiner Gleichung t=0 raus, das war das geforderte Zwischenergebniss und der Betrag stimmt auch= [mm] \wurzel{14}. [/mm] Dankeschön. Geht auch viel einfacher als mein angefangener Lösungsweg....
Mich hätte nur noch interessiert wie das mit dem Vektorprodukt funktioniert. Kann ich da über das Kreuprodukt die Variable t berechnen? Oder welche Vektoren sind in dem Fall einzusetzen? LG Markus
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Hallo Markus110,
> s.o.
> Hallo Mathepower. Danke für die flotte Antwort. Habe mit
> der Deiner Gleichung t=0 raus, das war das geforderte
> Zwischenergebniss und der Betrag stimmt auch= [mm]\wurzel{14}.[/mm]
> Dankeschön. Geht auch viel einfacher als mein angefangener
> Lösungsweg....
>
> Mich hätte nur noch interessiert wie das mit dem
> Vektorprodukt funktioniert. Kann ich da über das
> Kreuprodukt die Variable t berechnen? Oder welche Vektoren
> sind in dem Fall einzusetzen? LG Markus
Mit Hilfe des Vektorproduktes geht das so:
[mm]d=\vmat{\overrightarrow{b_{0}} \times \left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{a}\right)}[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{b_{0}}=\bruch{\overrightarrow{b}}{\vmat{\overrightarrow{b}}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Do 06.03.2008 | | Autor: | Markus110 |
Dankeschön an MathePower ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") für die Hilfe
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