Lotto 6 aus 45 < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Do 20.10.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Wieviele Lottotips gibt es bei “6 aus 45”, in denen keine zwei aufeinanderfolgenden
Zahlen vorkommen? |
Um diese Frage zu beantworten, habe ich mir folgendes überlegt.
Ich formuliere einmal die Fragestellung um:
Wie viele Möglichkeiten fur das Paar $(a,b) [mm] \in \{1,\ldots,45 \} \times \{1,\ldots,45\}$ [/mm] gibt es, sodass sich seine Komponenten a,b um genau 1 unterscheiden?
So formuliert liegt ein Ansatz schon fast auf der Hand:
Wenn o.B.d.A. das erste Paar (1,2) lautet, so gibt es für das nächste Paar ersichtlich 44 Möglichkeiten, da das letzte Paar (44,45) lautet. Diese Gesetztmäßigkeit pflanzt sich offenbar für alle Paare aus den Teilmengen fort und führt zum Ansatz:
[mm] $44\cdot [/mm] 43 [mm] \cdot [/mm] 42$ (denn für ein beliebiges, aber festes erstes paar gibt es jeweils 43 Möglichkeiten für das 2. Paar usw.)
Ausgerechnet ergibt dies eine Anzahl von 79464 Möglichkeiten.
Nun rückübersetze ich mein Ergebnis zur ursprünglichen Fragestellung und vermute, dass die Lösung auf das obige Problem einfach die Differenz aus den insgesamten Möglichkeiten aus einer 45-Menge eine 6-Teilmenge zu konstruieren zur den hier ausgerechneten Möglichkeiten für die Paarfolgen gibt, also:
$45 [mm] \choose [/mm] 6 $ - 79464 = 8065596 beträgt.
Ich bin mir jedoch bei meiner Rückübersetzung ziemlich unsicher.
Meine Frage: Bin ich richtig vorgegangen, wenn nein, wo liegt mein Trugschluss?
Würde mich auf Hilfe freuen! :)
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Hallo clemenum,
nein, so einfach ist es nicht.
> Wieviele Lottotips gibt es bei “6 aus 45”, in denen
> keine zwei aufeinanderfolgenden
> Zahlen vorkommen?
> Um diese Frage zu beantworten, habe ich mir folgendes
> überlegt.
>
> Ich formuliere einmal die Fragestellung um:
> Wie viele Möglichkeiten fur das Paar [mm](a,b) \in \{1,\ldots,45 \} \times \{1,\ldots,45\}[/mm]
> gibt es, sodass sich seine Komponenten a,b um genau 1
> unterscheiden?
>
> So formuliert liegt ein Ansatz schon fast auf der Hand:
> Wenn o.B.d.A. das erste Paar (1,2) lautet, so gibt es für
> das nächste Paar ersichtlich 44 Möglichkeiten, da das
> letzte Paar (44,45) lautet.
Das verstehe ich schon nicht. Für eine Zweierpaarung gibt es offensichtlich genau 44 Möglichkeiten, so dass das Paar aus benachbarten Zahlen besteht.
> Diese Gesetztmäßigkeit
> pflanzt sich offenbar für alle Paare aus den Teilmengen
> fort
Und woher weißt Du das?
> und führt zum Ansatz:
> [mm]44\cdot 43 \cdot 42[/mm] (denn für ein beliebiges, aber festes
> erstes paar gibt es jeweils 43 Möglichkeiten für das 2.
> Paar usw.)
Nein, das stimmt schon nicht. (2,3,12) ist nicht erlaubt, (2,3,4) und (2,11,12) auch nicht. Erschlägt Dein Ansatz diese alle, ohne sie doppelt zu zählen?
> Ausgerechnet ergibt dies eine Anzahl von 79464
> Möglichkeiten.
Wenn das die Möglichkeiten sein sollen, bei denen mindestens zwei Zahlen Nachbarn sind, dann sind es deutlich zu wenige.
Allein die Kombinationen, die die Ziffern (1,2) und vier beliebige weitere enthalten, sind [mm] \vektor{43\\4}=123410 [/mm] Möglichkeiten.
> Nun rückübersetze ich mein Ergebnis zur ursprünglichen
> Fragestellung und vermute, dass die Lösung auf das obige
> Problem einfach die Differenz aus den insgesamten
> Möglichkeiten aus einer 45-Menge eine 6-Teilmenge zu
> konstruieren zur den hier ausgerechneten Möglichkeiten
> für die Paarfolgen gibt, also:
> [mm]45 \choose 6[/mm] - 79464 = 8065596 beträgt.
>
> Ich bin mir jedoch bei meiner Rückübersetzung ziemlich
> unsicher.
>
> Meine Frage: Bin ich richtig vorgegangen, wenn nein, wo
> liegt mein Trugschluss?
Du triffst Annahmen, die Du nicht belegen kannst.
Die Aufgabe ist allerdings auch nicht ganz einfach.
Versuchs mal so: fang mit 6 aus 11 an. Da gibt es nur eine Möglichkeit. Bei 6 aus 12 sind es schon sieben Möglichkeiten, und wie viele bei 6 aus 13? Das ist noch von Hand aufzuschreiben. Gibt es einen rekursiven Zusammenhang? (Ja, z.B. kommt aber 5 aus 10 und 5 aus 11 darin vor.)
Grüße
reverend
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