Lotto und Würfel Aufgaben < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 05.04.2010 | | Autor: | dbzworld |
| Aufgabe | 1. Eine Gruppe von 20 Personen, jeder einzelne füllt ein Lottoschein aus.
a) Wie groß ist beim Lotto 6 aus 49 die Wahrscheinlichkeit genau 3 Richtige zu haben?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass von 20 Personen mindestens eine genau 3 Richtige hat?
2.
Bei einem Würfel wurden die Ecken abgeschliffen, so dass er nicht nur auf den 6 Seiten sondern auch auf den 8 Ecken liegen bleiben kann.
Die Wahrscheinlichkeit jeder Ecke ist 1/3 so groß wie die Wahrscheinlichkeit jeder Seite.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln? |
zu 1.:
a)
relativ einfach, Hypergeometrische Verteilung:
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{43 \\ 3}}{ \vektor{49 \\ 6}}=\ldots=0,0176
[/mm]
also 1,77 %
b) Hier hatte ich nun meine Schwierigkeiten, habe es dann mal mit der Biominalverteilung probiert.
P(X=k)= [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] p^k [/mm] * [mm] (1-p)^{n-k}
[/mm]
Mit n = 20 und k = 0.
Wobei ich dann nicht wusste was ich für p nehme, p = [mm] \bruch{1}{20} [/mm] oder das was ich oben herausbekommen habe p = 0,0176?
Zusätzlich habe ich mir die Gegenwahrscheinlichkeit betrachtet statt "..von 20 Personen mindestens eine genau 3 Richtige hat", habe ich mir "keine Person hat genau 3 Richtige" angeschaut.
Also habe ich dann 1-P(X=0) berechnet:
i) mit p = [mm] \bruch{1}{20}
[/mm]
P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0} [/mm] * [mm] \bruch{1}{20}^0 [/mm] * (1 - [mm] \bruch{1}{20})^{20} [/mm] = [mm] \bruch{19}{20}^{20} \approx [/mm] 0,358
Dann 1-P(X=0) = 0,642 also 64 % ?
ii) mit p = 0,0176?
P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0} [/mm] * p = [mm] 0,0176^0 [/mm] * (1 - [mm] 0,0176)^{20} [/mm] = [mm] 0,9824^{20} \approx [/mm] 0,701
Dann 1-P(X=0) = 0,299 also 30 % ?
Meine Frage ist nun:
Ist der Ansatz mit der Biominalverteilung richtig, wenn ja welches p muss ich nehmen und ist mein Gegenereignis so korrekt?
zu 2.:
>"Die Wahrscheinlichkeit jeder Ecke ist 1/3 so groß wie die Wahrscheinlichkeit jeder Seite."
Also wäre dann P("Ecke gewürfelt") = 1/3*1/6= 1/18
>a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
Muss hier überhaupt die Ecken betrachten? Reicht also ein einfaches 1/6 als Antwort?
>b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
Hier weiß ich jetzt nicht was ich mit den Wahrscheinlichkeiten mache, addieren oder multiplizieren?
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 05.04.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> zu 1.:
> a)
> relativ einfach, Hypergeometrische Verteilung:
> [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 3} \vektor{43 \\ 3}}{ \vektor{49 \\ 6}}=\ldots=0,0176[/mm]
>
> also 1,77 %
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Völlig richtig.
> b) Hier hatte ich nun meine Schwierigkeiten, habe es dann
> mal mit der Biominalverteilung probiert.
> (...)
> Ist der Ansatz mit der Biominalverteilung richtig, wenn ja
> welches p muss ich nehmen und ist mein Gegenereignis so
> korrekt?
Hmm. Rumprobieren ist selten gut. Zunächst ist dein Ansatz mit der Binomialverteilung ja richtig. Aber was dann folgt war großenteils leider Unsinn.
Wie ist die Binomialverteilung denn definiert?
[mm]f(k) = \vektor{n\\k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}[/mm] für alle [mm]k \in \{0,1,...,n\}[/mm]
Du hast hier die Parameter n und p. n ist die Gesamtheit (hier 20 Personen) und p die Wahrscheinlichkeit für 1 Ereignis (1 Person hat genau 3 Richtige - das hast du in Aufgabenteil a) berechnet).
Nun gibt die Binomialveteilung aber nur für genau 1 k die Wahrscheinlichkeit an, dich interessiert aber: Mindestens 3 Personen haben genau 3 Richtige.
Da es für 3, 4, 5, 6, 7 , ..., 20 Personen zu aufwändig zu berechnen wäre, ist die Gegenwahrscheinlichkeit die richtige Idee.
Die korrekte Gegenwahrschienlichkeit zu "mindestens 3" ist allerdings "höchstens 2".
Sprich:
w(X = min. 3 Personen 3 Richtige) = 1 - w(X = max. 2 Personen 3 Richtige) = f(2) + f(1) + f(0)
Wobei f natürlich die Zähldichte der Binomialverteilung ist.
> zu 2.:
> >"Die Wahrscheinlichkeit jeder Ecke ist 1/3 so groß wie
> die Wahrscheinlichkeit jeder Seite."
> Also wäre dann P("Ecke gewürfelt") = 1/3*1/6= 1/18
Obacht! Die Gesamtwahrscheinlichkeit kann nicht größer als 1 werden.
Dadurch dass du jetzt zusätzlich Ecken hast, auf denen der Würfel liegen bleiben kann, ist die Wahrscheinlichkeit eine der 6 Seiten zu würfeln nicht mehr 6 * 1/6 = 1, sondern geringer!
Du hast also:
w(Seite) = p
w(Ecke) = [mm] \bruch{p}{3}
[/mm]
[mm]w(\Omega) = 6p + \bruch{8p}{3} = 1[/mm]
Diese Gleichung musst du erst einmal nach p auflösen, um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen und die Aufgabe bearbeiten zu können.
> >a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu
> würfeln?
> Muss hier überhaupt die Ecken betrachten? Reicht also ein
> einfaches 1/6 als Antwort?
>
> >b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige
> Ecke zu würfeln?
> Hier weiß ich jetzt nicht was ich mit den
> Wahrscheinlichkeiten mache, addieren oder multiplizieren?
>
> Vielen Dank im voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 05.04.2010 | | Autor: | dbzworld |
Vielen Dank erstmal.
Du sagtest:
>....dich interessiert aber: Mindestens 3 Personen haben genau 3 Richtige.
Ich glaube du hast die Aufgabenstellung falsch verstanden. Dort heißt es:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass von 20 Personen mindestens eine genau 3 Richtige hat?
Das Gegenereignis wäre also, keine Person hat 3 Richtige.
Somit, n = 20, k = 0 und p = 0,0176
P(X=0)= [mm] \vektor{20 \\ 0} [/mm] * p = [mm] 0,0176^0 [/mm] * (1 - [mm] 0,0176)^{20} [/mm] = [mm] 0,9824^{20} \approx [/mm] 0,701
Dann 1-P(X=0) = 0,299, somit wäre 30 % die richtige Antwort, oder?
>Obacht! Die Gesamtwahrscheinlichkeit kann nicht größer als 1 werden.
Habe ich leider völlig außer Acht gelassen...
[mm] w(\Omega) [/mm] = 6p + [mm] 8\bruch{p}{3} [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm] p = [mm] \bruch{3}{26}
[/mm]
Somit erhalte ich für:
>a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
w("W'keit 4 würfeln") = [mm] \bruch{26}{3}
[/mm]
und
>b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
w("W'keit beliebige Ecke würfeln") = [mm] \bruch{1}{p+\bruch{p}{3}} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
> Dann 1-P(X=0) = 0,299, somit wäre 30 % die richtige
> Antwort, oder?
Das habe ich auch raus.
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Vier zu würfeln?
> w("W'keit 4 würfeln") = [mm]\bruch{26}{3}[/mm]
Du meintest wohl [mm]\bruch{3}{26}[/mm] , oder ?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
> w("W'keit beliebige Ecke würfeln") = [mm]\bruch{1}{p+\bruch{p}{3}}[/mm] ?
Da muss doch am Ende ein konkrete Zahl stehen und keine Formel mit einem p
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 06.04.2010 | | Autor: | dbzworld |
>Du meintest wohl [mm]\bruch{3}{26}[/mm] , oder ?
Ja, ich hatte fälschlicherweise 1/p berechnet...
>Da muss doch am Ende ein konkrete Zahl stehen und keine Formel mit einem p
Ich wollte nur mal sicher gehen ob der Gedanke mit der Addition überhaupt richtig ist...
mit w(Seite) = p = [mm] \bruch{3}{26} [/mm] und
w(Ecke) = [mm] \bruch{\bruch{3}{26}}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{26}
[/mm]
Dann muss ich ja garnichts mehr addieren,
die Lösung für
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige
Ecke zu würfeln? Wäre also p = [mm] \bruch{1}{26} [/mm] oder durch das Wort "beliebige" p = [mm] \bruch{8}{26}?
[/mm]
Bin jetzt total verwirrt...
|
|
|
| |
|
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine beliebige Ecke zu würfeln?
> Wäre also p = [mm]\bruch{8}{26}?[/mm]
Genau das ist es !
> Bin jetzt total verwirrt...
Warum? Du hast es doch richtig raus gekriegt.
|
|
|
|
