L^p - Abg. der Addition < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Im groben betrifft meine Frage den [mm] L^p [/mm] (von Funktionen, die in den Abschluss von [mm] \IR [/mm] gehen; es ist hier noch nicht der Quotientenraum gemeint).
In der VL zur Maßtheorie wurde die Abgeschlossenheit der Addition im [mm] L^p [/mm] über die Minkowski'sche UG argumentiert.
Mein Proplem an der Argumentation ist nur, dass fuer f,g aus [mm] L^p,
[/mm]
f+g mittels pktw. Addition nicht mehr definiert sein muss.
Jedenfalls wurde bei uns die Addition von (-inf) mit (+inf) nicht definiert.
Auf dem Quotienten"raum" könnte man natürlich mittels Änderung der Fkt. f,g auf Nullmengen einen passenden Vertreter finden, der eben an den Problempunkten nun brav ist - nur würde so der Quotienteraum (hier noch bislang einfach die Menge der Äquivalenzklassen, da [mm] L^p [/mm] bislang noch keine wohldef. alg. Struktur hätte) erst über dieses Argument eine alg. Struktur erhalten.
Danke für alle Rückmeldungen.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 Mi 16.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> Mein Proplem an der Argumentation ist nur, dass fuer f,g
> aus [mm]L^p,[/mm] f+g mittels pktw. Addition nicht mehr definiert sein muss.
In der Maßtheorie ist [mm] $\infty-\infty:=-\infty+\infty:=0 [/mm] (siehe z.B. Elstrodt: "Maß- und Integrationstheorie", Springer 2006). Beachte dass auf der erweiterten Zahlengeraden [mm] $\overline{IR}:=\IR\cup\{\infty,-\inft\}$ [/mm] i.A. Assoziativität und Distributvität nicht mehr gelten.
Gruß, Robert
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Ok, danke - der Vortragende hat diese Ausdrücke bei uns aber explizit undefiniert belassen, sieht aber so aus als ob die VL an der Stelle dann eine Lücke hätte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mi 16.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Im Zweifel einfach nochmal fragen. Es ist sehr wohl eine berechtige Frage, ich wollte nur sagen, dass in der Standartliteratur an dieser Stelle einfach mehr oder weniger willkürliche Vereinbarungen getroffen werden.
Gruß, Robert
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