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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Sa 08.12.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Seien p,q [mm] \in [1,\infty) [/mm] und [mm] X\subset \IR^{n} [/mm] eien beschränkte Lebesgue-messbare Menge: [mm] X\subset B_{R} [/mm] (0). Zeigen Sie, dass für [mm] f\in L^p [/mm] (X) und g [mm] \in L^q(X) [/mm] folgendes gilt:
1. f+g [mm] \in L^{r}(X) [/mm] für alle [mm] r\in[1, [/mm] min(p,q)]
2. fg [mm] \in L^{r}(X) [/mm] für alle [mm] r\in [/mm] [1, [mm] \bruch{pq}{p+q}] [/mm] falls [mm] \bruch{pq}{p+q}\ge [/mm] 1
3.Geben Sie ein Beispiel an mit [mm] f\in L^{p}(X), g\in L^{q}(X) [/mm] und [mm] fg\not\in L^{r}(X) [/mm] für [mm] r>\bruch{pq}{p+q}
[/mm]
4. Kann man ähnliche Ergebnisse zeigen für den Fall [mm] \lambda(X)=\infty? [/mm] |
Beim erstsen würde ich über Dreiecksungleichung gehen. Dann bleibt noch zu zeigen, dass aus [mm] f\in L^{p}(X) [/mm] folgt [mm] f\in L^{p-1}(X) [/mm] und da liegt mein Problem. Soll man da über die Minkowskiungleichung gehen?
Bei der zweiten muss man denke ich Hölder anwenden, ich weiß aber nicht wie.
Bei den letzten bgeiden bin ich völlig ahnungslos.
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:50 Mo 10.12.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
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