Lsg. über \IQ und \IZ < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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moin,
Es gibt ja den schönen Satz
"Ist $f [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] normiert und [mm] $\alpha \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ so folgt [mm] $\alpha \in \IZ$.
[/mm]
Nun habe ich folgende Aufgabe:
| Aufgabe | | Zeige, dass die Gleichung [mm] $x^2+3y^2=2$ [/mm] keine Lösungen in [mm] $\IQ$ [/mm] hat. |
Die Aufgabe habe ich bereits (mit ein wenig Aufwand) gelöst, allerdings habe ich Gerüchte gehört, dass diese Gleichung über [mm] $\IQ$ [/mm] Lösungen hat genau dann, wenn sie welche über [mm] $\IZ$ [/mm] hat; und dass es keine Lösungen über [mm] $\IZ$ [/mm] gibt lässt sich in wenigen Sekunden zeigen (zB durch den Übergang nach [mm] $\IZ/3\IZ$).
[/mm]
Daher wollte ich gerne fragen, ob es wirklich stimmt, dass diese Gleichung genau dann über [mm] $\IQ$ [/mm] lösbar ist, wenn sie es über [mm] $\IZ$ [/mm] ist und in wie weit das noch verallgemeinerbar ist.
Also haben wir $f [mm] \in \IZ[x_1,x_2,\ldots [/mm] , [mm] x_n]$ [/mm] und [mm] $\alpha \in \IQ^n$ [/mm] mit [mm] $f(\alpha)=0$, [/mm] kann man dann - wenn ja unter welchen Voraussetzungen - bereits [mm] $\alpha \in \IZ^n$ [/mm] folgern?
Danke für Antworten.
lg
Schadow
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Hallo Schadow,
ganz kurz und im Vorbeigehen:
Du kannst zu jeder Lösung in [mm] \IQ [/mm] doch eine in [mm] \IZ [/mm] konstruieren - einfach durch Multiplikation von x und y mit dem Hauptnenner.
Wenn es also keine Lösung in [mm] \IZ [/mm] gibt, kann es auch keine in [mm] \IQ [/mm] geben.
Das ist m.E. auch verallgemeinerbar, aber das bekomme ich auf die Schnelle nicht hin.
Grüße
reverend
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Das klappt aber doch nur für homogene Polynome?
Insbesondere klappt es also bei meinem Beispiel nicht, da hier noch ein konstanter Term auftaucht.
Die Frage, ob [mm] $x^2+3y^2=2$ [/mm] rationale Lösungen hat ist äquivalent zur Frage, ob [mm] $a^2+3b^2=2c^2$ [/mm] ganzzahlige Lösungen hat (auch die 2 muss mit dem Hauptnenner multipliziert werden) wobei $c [mm] \neq [/mm] 0$; also nicht zur Frage, ob [mm] $x^2+3y^2=2$ [/mm] ganzzahlige Lösungen hat.
Natürlich kann man nun zeigen, dass dieses neue Polynom in den Unbekannten $a,b,c$ keine ganzzahlige Lösung außer (0,0,0) besitzt, aber das ist deutlich komplizierter als es beim alten in den Unbekannten $x,y$ zu zeigen.
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Hallo nochmal,
> Das klappt aber doch nur für homogene Polynome?
Ja, stimmt.
> Insbesondere klappt es also bei meinem Beispiel nicht, da
> hier noch ein konstanter Term auftaucht.
Gut, dann anders...
> Die Frage, ob [mm]x^2+3y^2=2[/mm] rationale Lösungen hat ist
> äquivalent zur Frage, ob [mm]a^2+3b^2=2c^2[/mm] ganzzahlige
> Lösungen hat (auch die 2 muss mit dem Hauptnenner
> multipliziert werden) wobei [mm]c \neq 0[/mm]; also nicht zur Frage,
> ob [mm]x^2+3y^2=2[/mm] ganzzahlige Lösungen hat.
>
> Natürlich kann man nun zeigen, dass dieses neue Polynom in
> den Unbekannten [mm]a,b,c[/mm] keine ganzzahlige Lösung außer
> (0,0,0) besitzt, aber das ist deutlich komplizierter als es
> beim alten in den Unbekannten [mm]x,y[/mm] zu zeigen.
Nein, in [mm] \IZ/3\IZ [/mm] ist das auch ganz einfach.
Wir dürfen voraussetzen, dass [mm] \ggT{(a,b,c)}=1 [/mm] ist (gekürzte Lösung).
Weiter besitzt [mm] a^2(+3b^2)=2c^2 [/mm] nur die Lösung [mm] a\equiv c\equiv 0\mod{3}.
[/mm]
Damit haben wir [mm] (3a_1)^2+3b^2=2*(3c_1)^2, [/mm] gekürzt
[mm] 3a_1^2+b^2=6c_1^2
[/mm]
Für [mm] b\not\equiv 0\mod{3} [/mm] gibt es keine Lösung.
Und das heißt, dass [mm] 3|\ggT{(a,b,c)}. [/mm] Widerspruch.
Insofern ist das Beispiel zwar gerettet, aber die allgemeine Frage in der Tat noch nicht beantwortet.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 09.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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