Lsg trigonometrische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 So 02.02.2014 | | Autor: | lalissy |
| Aufgabe | Bestimme sämtliche reellen Lösungen der trigonometrischen Gleichung:
[mm] \sin(2x+5)=0,4 [/mm] |
Hallo,
Die Periode der Funktion liegt bei [mm] \pi
[/mm]
Die Verschiebung ist nach links um [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
Wenn ich die Gleichung auflöse bekomme ich $x=-2,29$ raus. Also sind Nullstellen bei [mm] x=-2,29+k*\pi
[/mm]
Wenn man sich den Sinus aufzeichnet und dann eine Gerade bei $y=0,4 $ sieht man, dass da noch eine sich wiederholende Nullstelle fehlt.
Wie kann ich diese bestimmen?
Danke :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 So 02.02.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bedenke, dass [mm] sin(x)=\sin(\pi-x), [/mm] das kannst du dir am Einheitskreis schön veranschaulichen.
Also bekommst du bei
[mm] \sin(x)=0,4 [/mm] die Lösung [mm] x_{1}=\sin^{-1}(0,4)\approx0,412
[/mm]
Nun kannst du mit dem obigen Ansatz die zweite Lösung über
[mm] x_{2}=\pi-\sin^{-1}(0,4)\approx2,73 [/mm] bestimmen.
Natürlich musst du jetzt noch die Periode und die Verschiebung beachten.
Dazu schau auch mal unter ![[]](/images/popup.gif) mathenexus.zum.de.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 02.02.2014 | | Autor: | lalissy |
Ja das mit dem Einheitskreis ist mir klar :)
Die Periode ist ja [mm] \pi. [/mm] Die Verschiebung um $2,5$ nach links.
Ich kann ja [mm] $\sin(2x+5)=0,4$ [/mm] auflösen. Da ist ja dann auch automatisch die Periode und Verschiebung beachtet.
x= -2,29 , daraus folgt: [mm] $x=-2,29+k*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Aber ich verstehe nicht, wie ich das dann für die weiteren Nullstellen verwenden soll, bzw ich das in die Form für [mm] $sin(\pi-x)=0,4$ [/mm] einfüge, dass ich dann ganz normal wie oben auflösen kann >.<
Danke im vorraus
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Aber ich verstehe nicht, wie ich das dann für die weiteren
> Nullstellen verwenden soll, bzw ich das in die Form für
> [mm]sin(\pi-x)=0,4[/mm] einfüge, dass ich dann ganz normal wie oben
> auflösen kann >.<
Also, wir haben
sin(2x+5)=0.4
Die fragliche Lösung geht dir schon an dieser Stelle verloren, denn weiter geht es mit [mm] k\in\IZ [/mm] so:
[mm] 2x_1+5=arcsin(0.4)+2*k*\pi
[/mm]
[mm] 2x_2+5=\pi-arcsin(0.4)+2*k*\pi
[/mm]
Denn das Argument musst du ja zunächst einmal als Ganzes betrachten, wenn du die Beziehungen am Einheitskreis verwenden möchtest.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 02.02.2014 | | Autor: | lalissy |
| Aufgabe | Weitere Aufgabe:
[mm] $cos(x-1)=\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] |
Klar.. auf den Ansatz [mm] $sin(x)=sin(\pi-x)$ [/mm] komme ich durch den Einheitskreis oder?
Dann ist [mm] $x1=-2.29+k*\pi$ [/mm] und [mm] $x2=-1,13+k*\pi$
[/mm]
Die zweite Aufgabe ist mit cosinus:
Zuerst vereinfachen: [mm] $\cos(x-1)=0,5$
[/mm]
Wie bekomme ich da die zweite Gleichung, damit mir keine Lösung verloren geht? Wie beim Sinus funktioniert das ja nicht.
Cosinus hat den gleichen wert nicht wie der Sinus nach [mm] \pi [/mm] sondern erst nach [mm] 2\pi [/mm] -.-
Danke :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Weitere Aufgabe:
>
> [mm]cos(x-1)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Klar.. auf den Ansatz [mm]sin(x)=sin(\pi-x)[/mm] komme ich durch
> den Einheitskreis oder?
> Dann ist [mm]x1=-2.29+k*\pi[/mm] und [mm]x2=-1,13+k*\pi[/mm]
>
Die Lösungen passen, sind aber eher unglücklich angegeben. Für gewöhnlich nimmt man als Ausgangswert die kleinste positive Lösung. Das könntest du hier ereichen, indem du jeweils noch [mm] \pi [/mm] hinzu addierst.
> Die zweite Aufgabe ist mit cosinus:
>
> Zuerst vereinfachen: [mm]\cos(x-1)=0,5[/mm]
Das ist falsch. Du kannst doch nicht einfach die Wurzel weglassen?
> Wie bekomme ich da die zweite Gleichung, damit mir keine
> Lösung verloren geht? Wie beim Sinus funktioniert das ja
> nicht.
Hm, wenn du da schon wieder scheiterst, dann wäre es sicherlich am vernünftigsten, sich die Definitionen von Sinus und Kosinus am Einheitskreis nochmals klar zu machen und insbesondere sich daraus die Schaubilder beider Funktionen im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] einzuprägen. Dann schüttelt man
[mm] cos(x)=cos(2\pi-x)
[/mm]
sozusagen aus der Tasche.
> Cosinus hat den gleichen wert nicht wie der Sinus nach [mm]\pi[/mm]
> sondern erst nach [mm]2\pi[/mm] -.-
Das ist Unfug. [mm] 2\pi-periodisch [/mm] sind beide Funktionen, der Sinus und der Kosinus. Das kann man aber eben nicht für die unterschiedlichen Lösungen nutzen.
PS: es wäre besser, jede Aufgabe in einem eigenen Thread abzuhandeln.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
