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Hallo Foren-Mitglieder,
gegeben ist die funktion f(x) = ln(x+1)
a) für welche x [mm] \in \IR [/mm] kann man die funktion durch ihre Mac-Laurin-Reihe darstellen
b) bestimmen sie diese Reihe
c) mit welchem mac-laurin-polynom zu dieser funktion kann der wert von ln(1,5) auf 5 dezimale genau berechnet werden? bestimmen sie diesen wert in der genannten genauigkeit. Kann man so auch ln(15) bestimmen?
zu a) Ist damit nur der Definitionsbereich von f(x) gemeint? also x>-1?
zu b)
f(x)= ln(x+1)
[mm] f'(x)=\bruch{1}{(x+1)^1}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-1}{(x+1)^2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{2}{(x+1)^3}
[/mm]
[mm] f^{4}(x)=\bruch{-6}{(x+1)^4}
[/mm]
[mm] f^{k}(x)=\bruch{(-1)^{k+1}*(k-1)!}{(x+1)^k}
[/mm]
somit ist die reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{f^k(0)}{k!}*x^k
[/mm]
mit dem [mm] f^k [/mm] von oben!?
zu c) Restgliedformel:
[mm] |R_{n+1}(x)|\le\underbrace{max}_{t\in[0;x]}|\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1}(t)| [/mm]
mit einsetzen der Werte wird daraus:
[mm] |R_{n+1}(0.5)|\le\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{(n+1)+1}*((n+1)-1)!}{(n+1)!*(t+1)^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{n+2}*n!}{(n+1)!*(t+1)^{n+1}}|
[/mm]
setzt man nun für das t die 0,5 ein? wegen strenger monotonie der ausgangsfunktion? oder eher die 0 weil dann der Nenner kleiner ist? Das beispiel im script mit der funktion f(x) = [mm] e^x [/mm] ist da leider wenig aufschlussreich.. während des rechnens habe ich mich für ersteres entschieden, somit wird dann
[mm] \underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{n+2}*n!}{(n+1)!*(t+1)^{n+1}}|=\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{n+2}*n!}{(n+1)!*(\bruch{3}{2})^{n+1}}|=|\bruch{1*(-1)^{n+2}*2^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}*3^{n+1}}|=|\bruch{(-1)^{n+2}}{(n+1)*3^{n+1}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(n+1)*3^{n+1}}=\bruch{1}{3^n*3(n+1)}
[/mm]
genauigkeit von 5 dezimalen: [mm] \bruch{1}{2}*10^{-5} [/mm] muss grösser sein als [mm] \bruch{1}{3^n*3(n+1)}:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3^n*3(n+1)}<\bruch{1}{2}*10^{-5} |*10^5 [/mm] |*2
[mm] \gdw\bruch{2*10^5}{3^n*3(n+1)}<1\gdw 2*10^5<3^n*3(n+1) [/mm] |:3
[mm] \gdw\bruch{2}{3}*10^5<3^n(n+1) [/mm] für n=9 ist die ungleichung erfüllt (durch ausprobieren). somit kann das 9. polynom die anforderung erfüllen. ist die rechnung denn sonst richtig?
>Kann man so auch ln(15) bestimmen?
wenn sich die frage auf das 9. polynom bezieht, wäre die abweichung evtl. zu gross. reicht es hier dies so zu begründen oder müsste man mit der restgliedformel beweisen, dass für ln(15) und 5 dezimalstellen ein 9. polynom nicht ausreicht?
Ich danke schonmal fürs lesen und hoffe auf Antworten 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 So 26.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Foren-Mitglieder,
> gegeben ist die funktion f(x) = ln(x+1)
> a) für welche x [mm]\in \IR[/mm] kann man die funktion durch ihre
> Mac-Laurin-Reihe darstellen
Hallo,
so weit ich mich erinnere, hatte ich 1984 (lang ist es her) mit der Reihenentwicklung von ln (1+x) in meiner Diplomarbeit zu tun.
Die gesuchte Reihe (du findest sie unter http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe fast am Ende des Artikels) konvergiert nur sehr langsam und hat den Konvergenzradius r<1. Damit lassen sich die Logarithmen von 0 bis 2 berechnen.
Den ln 15 bekommst du nur mit einem Trick: Wegen ln [mm] 15=-ln\bruch{1}{15}kannst [/mm] du ihn als
[mm] -ln(1+(-\bruch{14}{15})) [/mm] berechnen.
Gruß Abakus
> b) bestimmen sie diese Reihe
> c) mit welchem mac-laurin-polynom zu dieser funktion kann
> der wert von ln(1,5) auf 5 dezimale genau berechnet werden?
> bestimmen sie diesen wert in der genannten genauigkeit.
> Kann man so auch ln(15) bestimmen?
>
> zu a) Ist damit nur der Definitionsbereich von f(x)
> gemeint? also x>-1?
>
> zu b)
> f(x)= ln(x+1)
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{(x+1)^1}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{-1}{(x+1)^2}[/mm]
> [mm]f'''(x)=\bruch{2}{(x+1)^3}[/mm]
> [mm]f^{4}(x)=\bruch{-6}{(x+1)^4}[/mm]
> [mm]f^{k}(x)=\bruch{(-1)^{k+1}*(k-1)!}{(x+1)^k}[/mm]
> somit ist die reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^k(0)}{k!}*x^k[/mm]
> mit dem [mm]f^k[/mm] von oben!?
>
> zu c) Restgliedformel:
>
> [mm]|R_{n+1}(x)|\le\underbrace{max}_{t\in[0;x]}|\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1}(t)|[/mm]
> mit einsetzen der Werte wird daraus:
>
> [mm]|R_{n+1}(0.5)|\le\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{(n+1)+1}*((n+1)-1)!}{(n+1)!*(t+1)^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{n+2}*n!}{(n+1)!*(t+1)^{n+1}}|[/mm]
> setzt man nun für das t die 0,5 ein? wegen strenger
> monotonie der ausgangsfunktion? oder eher die 0 weil dann
> der Nenner kleiner ist? Das beispiel im script mit der
> funktion f(x) = [mm]e^x[/mm] ist da leider wenig aufschlussreich..
> während des rechnens habe ich mich für ersteres
> entschieden, somit wird dann
> [mm]\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{n+2}*n!}{(n+1)!*(t+1)^{n+1}}|=\underbrace{max}_{t\in[0;0.5]}|\bruch{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(-1)^{n+2}*n!}{(n+1)!*(\bruch{3}{2})^{n+1}}|=|\bruch{1*(-1)^{n+2}*2^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}*3^{n+1}}|=|\bruch{(-1)^{n+2}}{(n+1)*3^{n+1}}|[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{(n+1)*3^{n+1}}=\bruch{1}{3^n*3(n+1)}[/mm]
> genauigkeit von 5 dezimalen: [mm]\bruch{1}{2}*10^{-5}[/mm] muss
> grösser sein als [mm]\bruch{1}{3^n*3(n+1)}:[/mm]
> [mm]\bruch{1}{3^n*3(n+1)}<\bruch{1}{2}*10^{-5} |*10^5[/mm]
> |*2
> [mm]\gdw\bruch{2*10^5}{3^n*3(n+1)}<1\gdw 2*10^5<3^n*3(n+1)[/mm]
> |:3
> [mm]\gdw\bruch{2}{3}*10^5<3^n(n+1)[/mm] für n=9 ist die
> ungleichung erfüllt (durch ausprobieren). somit kann das 9.
> polynom die anforderung erfüllen. ist die rechnung denn
> sonst richtig?
> >Kann man so auch ln(15) bestimmen?
> wenn sich die frage auf das 9. polynom bezieht, wäre die
> abweichung evtl. zu gross. reicht es hier dies so zu
> begründen oder müsste man mit der restgliedformel beweisen,
> dass für ln(15) und 5 dezimalstellen ein 9. polynom nicht
> ausreicht?
> Ich danke schonmal fürs lesen und hoffe auf Antworten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 So 26.04.2009 | | Autor: | fencheltee |
mh, die Potenzreihen kommen erst noch dran, daher kenne ich den Zusammenhang zwischen Taylor und Potenzreihen leider noch nicht. Normal ist in den Übungen bis jetzt derartige Vorkenntnis nicht von Nöten gewesen.
Habe mir erlaubt, den Status wegen den anderen Teilaufgaben zu ändern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fencheltee |
ok hab nun was rumgeblättert und mit dem quotientenkriterium komme ich nun auf ein x [mm] \in [/mm] ]-1;1]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:23 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fencheltee |
so im nachhinein haben sich alle fragen geklärt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:28 Mo 27.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ok hab nun was rumgeblättert und mit dem
> quotientenkriterium komme ich nun auf ein x [mm]\in[/mm] ]-1;1]
Du meinst eher, $x [mm] \in [/mm] ]-1, 1[$? Am Rand des Konvergenzbereiches kannst du mit dem Quotientenkriterium nichts aussagen. (Da brauchst du dann andere Kriterien.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo
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> > ok hab nun was rumgeblättert und mit dem
> > quotientenkriterium komme ich nun auf ein x [mm]\in[/mm] ]-1;1]
>
> Du meinst eher, [mm]x \in ]-1, 1[[/mm]? Am Rand des
> Konvergenzbereiches kannst du mit dem Quotientenkriterium
> nichts aussagen. (Da brauchst du dann andere Kriterien.)
>
> LG Felix
>
habe die randpunkte in meine ausgangsreihe gesetzt. bei -1 erhalte ich die divergente harmonische reihe, und bei 1 die konvergente alternierende harmonische reihe hätte ich dazuschreiben sollen! aber trotzdem danke fürs drüberschauen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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