Mächtigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Weiß zufällig wer eine interressante Internetseite wo viele Beispiele über die Mächtigkeit von 2 Mengen sind? Die Beispiele sollten idealerweise nach dem Schema ablaufen:
Überprüfen Sie folgende Mengen A und B auf Gleichmächtigkeit. Geben Sie gegenenfalls eine bijektive Abbildung an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Di 01.02.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo Reaper,
ich befürchte, da wirst du wenig Glück haben, solche Aufgaben massenhaft im web zu finden. Der einzige Beweis, der mir noch in Erinnerung ist stammt aus der Analysis (Cantor'sche Diagonalisierung zum Beweis der Abzählbarkeit [mm] von$\IQ$).
[/mm]
Ansonsten beschränkt sich die Algebra meist darauf, "bis auf Isomorphie" Strukturen zu bestimmen (kennt man eine, kennt man alle) und zu kategoriesieren, angefangen von der Gruppentheorie (diese kategorisiert alle möglichen Gruppen) über die Körpertheorie (endliche Körper) bis hin zur Galoistheorie (diese bringt algebraische Erweiterungen in Zusammenhang mit ihrer Automorphismengruppe und diese ist wiederum vollständig kategorisiert).
Und um Isomorphien zu beweisen/finden benutzt man fast ausschliesslich die universelle Eigenschaft der Faktorstruktur (Homomorphiesätze) oder die daraus abgeleiteten Isomorphiesätze und konstruiert mit diesem Wissen die benötigten Morphismen.
Und aus mengentheorethischer Sicht werden diese Bijektionen tatsächlich erst interessant, wenn man die Grenzen der Abzählbarkeit überschreitet.
Trotz allem findet man unter dem Stichwort "Diagonalisierung Beweis" eine Seite mit Beweisen (lustigerweise aus der Informatik), die deinen Wissensdurst stillen könnten - mit einigen Aufgaben/Lösungen zu Mächtigkeiten:
http://fara.cs.uni-potsdam.de/~kloth/pub/uni/semester1+2/ws00_01/teo/Blatt1Loesungen.pdf
Mit freundlichem Gruß,
Patrick
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