Mächtigkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | hey
meine Frage ist, wie man beweisen kann, dass [mm] |\mathbb{N}|=\infty
[/mm]
ist dieser beweis mehr oder weniger trivial oder muss man schon ein fortgeschrittener mathestudent sein, um ihn zu verstehen. vielmehr bin ich allgemein daran interessiert, zeigen zu können, dass die mächtigkeit einer menge unendlich ist. z.B. [mm] \mathbb{N} \textbackslash\{ 1 \} [/mm] oder so....kann mir da jemand weiterhelfen? |
in aufgabenstellung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst ja mal davon ausgehen, dass [mm] |\IN|=n<\infty [/mm] wäre und dann einen Widerspruchsbeweis führen. Hilft dir das?
Also so etwas wie: Sei [mm] |\IN|=n<\infty. [/mm] Dann gibt es ein größtes Element N [mm] \in \IN. [/mm] ...
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hiho,
Teufel hat dir ja schon einen Weg aufgezeigt.
Es gibt aber auch die Definition:
Eine Menge hat genau dann eine unendliche Mächtigkeit, wenn sie eine echte Teilmenge gleicher Mächtigkeit besitzt.
Man braucht dann noch, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn sie höchstens gleichmächtig zueinander sind, d.h. eine Bijektion von der einen in eine Teilmenge der anderen und umgekehrt existiert.
Findest du so eine Menge bei [mm] \IN [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | | ok, wenn ich dich richtig verstehe, hilft mir das für mein [mm] \mathbb{N} \backslash \{1\}... [/mm] da [mm] f:\mathbb{N\1} ->\mathbb{N} \backslash \{1\} [/mm] mit f(n)=n+1 und umgekehrt mit f(n)=n-1 existiert. das erfüllt die bijektivitätskriterien und die natürlichen zahlen ohne die 1 sind teilmenge von den natürlichen zahlen... |
leider verstehe ich noch gar nicht die richtung für den beweis... ja mal angenommen N sei endlich, dann muss es eine obere Grenze geben und wie zeige ich dann, dass es sie nicht gibt...oder geht das in die falsche Richtung?
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Hiho,
> leider verstehe ich noch gar nicht die richtung für den
> beweis... ja mal angenommen N sei endlich, dann muss es
> eine obere Grenze geben und wie zeige ich dann, dass es sie
> nicht gibt...oder geht das in die falsche Richtung?
nö, das geht schon so.
Es gibt dann ein maximales Element, nennen wir es "n"
Was weisst du nun über n+1 [mm] \in \IN
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 So 19.09.2010 | | Autor: | Klerk91 |
ist das dann der beweis, dass ich sage naja, man kann immernoch einen "draufsetzen". der wäre ja hochgradig trivial...
das ganze erklärt sich natürlich mit den vektorraum eigenschaften oder? 1 ist ein element von N und n natürlich auch aus N. die addition führt nicht aus dem vektorraum heraus, d.h. n+1 ist wieder element von N...passt das so? zumindest die beweisidee?
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