Mächtigkeit der Potenzmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie: Eine endliche Menge M mit n Elementen besitzt genau [mm] 2^n [/mm] Teilmengen. |
Hallo!
Hier bin ich mit vollständiger Induktion vorgegangen:
IA: n=0, dann ist [mm] 2^n [/mm] = [mm] 2^0 [/mm] = 1; Wenn M keine (0) Elemente hat, gibt es nur eine Teilmenge, die leere Menge; daher ist der IA korrekt
IV: Sei M:= [mm] \{1,2,...,n \}, [/mm] dann ist [mm] |P(M)|=2^n
[/mm]
IS: Es ist noch zu zeigen: [mm] |P(Q)|=2^{n+1} [/mm] mit Q:= [mm] \{1,2,...,n,n+1 \}. [/mm] Dafür mache ich eine Fallunterscheidung: Sei U Teilmenge von Q
Fall 1: n+1 [mm] \not\in [/mm] U; es gibt [mm] 2^n [/mm] solcher Teilmengen U nach IV
Fall 2: n+1 [mm] \in [/mm] U; Hier kommt das Problem: Eigentlich müsste ja wieder [mm] 2^n [/mm] rauskommen, damit das gewünschte entsteht. Aber wie komme ich da drauf?
Ist der Beweis überhaupt bis dahin in Ordnung?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße, Lily
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Wenn [mm]n+1 \in U[/mm] ist, dann gilt [mm]U = U' \cup \{ n+1 \}[/mm] im Sinn einer disjunkten Vereinigung mit einer höchstens [mm]n[/mm]-elementigen Menge [mm]U'[/mm]. Du mußt also nur diese [mm]U'[/mm] zählen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Di 24.05.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aaah, diese Richtung hatte ich eigentlich auch, aber jetzt ist es erst richtig klar geworden, was das heißt! Vielen Dank 
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