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Forum "Mengenlehre" - Mächtigkeit der Potenzmenge
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Mächtigkeit der Potenzmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Di 24.05.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Beweisen Sie: Eine endliche Menge M mit n Elementen besitzt genau [mm] 2^n [/mm] Teilmengen.

Hallo!

Hier bin ich mit vollständiger Induktion vorgegangen:

IA: n=0, dann ist [mm] 2^n [/mm] = [mm] 2^0 [/mm] = 1; Wenn M keine (0) Elemente hat, gibt es nur eine Teilmenge, die leere Menge; daher ist der IA korrekt

IV: Sei M:= [mm] \{1,2,...,n \}, [/mm] dann ist [mm] |P(M)|=2^n [/mm]

IS: Es ist noch zu zeigen: [mm] |P(Q)|=2^{n+1} [/mm] mit Q:= [mm] \{1,2,...,n,n+1 \}. [/mm] Dafür mache ich eine Fallunterscheidung: Sei U Teilmenge von Q
Fall 1: n+1 [mm] \not\in [/mm] U; es gibt [mm] 2^n [/mm] solcher Teilmengen U nach IV
Fall 2: n+1 [mm] \in [/mm] U; Hier kommt das Problem: Eigentlich müsste ja wieder [mm] 2^n [/mm] rauskommen, damit das gewünschte entsteht. Aber wie komme ich da drauf?

Ist der Beweis überhaupt bis dahin in Ordnung?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!

Liebe Grüße, Lily

        
Bezug
Mächtigkeit der Potenzmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 Di 24.05.2016
Autor: Leopold_Gast

Wenn [mm]n+1 \in U[/mm] ist, dann gilt [mm]U = U' \cup \{ n+1 \}[/mm] im Sinn einer disjunkten Vereinigung mit einer höchstens [mm]n[/mm]-elementigen Menge [mm]U'[/mm]. Du mußt also nur diese [mm]U'[/mm] zählen.

Bezug
                
Bezug
Mächtigkeit der Potenzmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Di 24.05.2016
Autor: Mathe-Lily

Aaah, diese Richtung hatte ich eigentlich auch, aber jetzt ist es erst richtig klar geworden, was das heißt! Vielen Dank :-)

Bezug
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