Mächtigkeit der Potenzmenge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Morgen,
Ich sitze jetzt schon einige Tage an einer Aufgabe und da ich jetzt wirklich nicht mehr weiter weiß hoffe ich das ihr mir helfen könnt.
Also es geht darum zu beweisen, dass die Potenzmenge und eine bestimmte Menge, nennen wir sie Menge X nicht gleichmächtig sind..
Ich habe mir gedacht das man dies alles mit einem Widerspruch zeigen kann. Denn nimmt man an das es eine Bijektion zwischen den beiden Mengen gibt, dann wären beide ja auc gleichmächtig. Also stellen wir eine Funktion auf :
f:x--> P(x) Dann habe ich irgendwo im Internet den Vorschlag gesehen eine dritte Menge M zu formulieren mit M= { z [mm] \varepsilon [/mm] X / x ist kein Element von f(z) }
1. Wie kann man diesen Ausdruck verstehen?
2. Stimmt die Annahme das M [mm] \varepsilon [/mm] P(x), da M ja eine Teilmenge von x ist und sich aufgrund der Bijektion jedes x in P(X) abbilden lässt?
3. Wie löse ich die Aufgabe weiter? Kann mir das jemand hier aufschreiben?Es ist eine Übungsaufgabe und es würde mir wirklich sehr weiterhelfen, auch bei den anderen Aufgaben, die diesen Schritt voraussetzten..
mfG
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 08.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Morgen,
> Ich sitze jetzt schon einige Tage an einer Aufgabe und da
> ich jetzt wirklich nicht mehr weiter weiß hoffe ich das
> ihr mir helfen könnt.
> Also es geht darum zu beweisen, dass die Potenzmenge und
> eine bestimmte Menge, nennen wir sie Menge X nicht
> gleichmächtig sind..
Ich nehme mal an, dass du die Menge X und die Potenzmenge P(X) vergleichen sollst.
Habt ihr schon bewiesen, dass die Potenzmenge P(X) einer n-elementigen Menge X genau [mm] 2^{n} [/mm] Elemente hat?
> Ich habe mir gedacht das man dies alles mit einem
> Widerspruch zeigen kann. Denn nimmt man an das es eine
> Bijektion zwischen den beiden Mengen gibt, dann wären
> beide ja auc gleichmächtig. Also stellen wir eine Funktion
> auf :
> f:x--> P(x) Dann habe ich irgendwo im Internet den
> Vorschlag gesehen eine dritte Menge M zu formulieren mit M=
> { z € X / x ist kein Element von f(z) }
Schön wäre es, wenn du dann den Link mit angegeben hättest, dann könnte man die Idee hinter dem Beweis eher nachvollziehen.
>
> 1. Wie kann man diesen Ausdruck verstehen?
> 2. Stimmt die Annahme das M [mm]\varepsilon[/mm] P(x), da M ja eine
> Teilmenge von x ist und sich aufgrund der Bijektion jedes x
> in P(X) abbilden lässt?
M ist definitig in P(X), überlege mal warum. Das hat aber nichst mit irgendeiner Bijektion zu tun.
> 3. Wie löse ich die Aufgabe weiter? Kann mir das jemand
> hier aufschreiben?Es ist eine Übungsaufgabe und es würde
> mir wirklich sehr weiterhelfen, auch bei den anderen
> Aufgaben, die diesen Schritt voraussetzten..
>
>
> mfG
> Alex
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> Hallo
>
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Guten Morgen,
> > Ich sitze jetzt schon einige Tage an einer Aufgabe und
> da
> > ich jetzt wirklich nicht mehr weiter weiß hoffe ich
> das
> > ihr mir helfen könnt.
> > Also es geht darum zu beweisen, dass die Potenzmenge
> und
> > eine bestimmte Menge, nennen wir sie Menge X nicht
> > gleichmächtig sind..
>
>
> Ich nehme mal an, dass du die Menge X und die Potenzmenge
> P(X) vergleichen sollst.
> Habt ihr schon bewiesen, dass die Potenzmenge P(X) einer
> n-elementigen Menge X genau [mm]2^{n}[/mm] Elemente hat?
das würde aber nur für sehr spezielle [mm] $X\,$ [/mm] hier was nützen - nämlich einfach
für alle endlichen Mengen [mm] $X\,,$ [/mm] also [mm] $|X|\;<\;\infty.$ [/mm] Und leider läßt sich der Beweis
dafür, meines Wissens nach, nicht einfach auf unendliche analog übertragen.
(Wobei ich damit nur meine, dass dieser Beweis wohl nicht dafür geeignet
ist, zu beweisen, dass es keine Surjektion $X [mm] \to [/mm] P(X)$ geben kann, wenn [mm] $|X|\;=\;\infty$ [/mm]
gilt.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Morgen,
> Ich sitze jetzt schon einige Tage an einer Aufgabe und da
> ich jetzt wirklich nicht mehr weiter weiß hoffe ich das
> ihr mir helfen könnt.
> Also es geht darum zu beweisen, dass die Potenzmenge und
> eine bestimmte Menge, nennen wir sie Menge X nicht
> gleichmächtig sind..
> Ich habe mir gedacht das man dies alles mit einem
> Widerspruch zeigen kann. Denn nimmt man an das es eine
> Bijektion zwischen den beiden Mengen gibt, dann wären
> beide ja auc gleichmächtig. Also stellen wir eine Funktion
> auf :
> f:x--> P(x) Dann habe ich irgendwo im Internet den
> Vorschlag gesehen eine dritte Menge M zu formulieren mit M=
> [mm] $\{ z \varepsilon X|\;\; x \text{ ist kein Element von }f(z) \}$
[/mm]
Du meinst
[mm] $\{z \in X:\;\;\red{z} \notin f(z)\}$
[/mm]
> 1. Wie kann man diesen Ausdruck verstehen?
Das ist doch relativ egal; er ist halt so zu verstehen, wie er definiert ist.
Das Ding ist doch folgendes:
Man zeigt hier, dass es keine Surjektion
$g [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] P(X)$
geben kann. Angenommen, es gäbe doch eine solche Surjektion, wir nennen
sie
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to P(X)\,.$
[/mm]
Weil [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv ist, muss es dann
zu jedem $Y [mm] \in [/mm] P(X)$ ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=Y\,$
[/mm]
geben.
Nun definiert man speziell
[mm] $Y_0=Y_{0,f}:=\{z \in X:\;\;z \notin f(z)\}\,.$
[/mm]
[mm] ($Y_0$ [/mm] ist "die Menge aller [mm] $\underline{z \in X},$ [/mm] die die Eigenschaft haben, dass
$z [mm] \notin \underbrace{f(z)}_{\text{beachte: }\in P(X)}$ [/mm] gilt"; damit gilt also insbesondere [mm] $Y_0 \subseteq X\,,$ [/mm] was
nichts anderes als [mm] $Y_0 \in [/mm] P(X)$ besagt!)
Weil [mm] $f\,$ [/mm] nach Annahme surjektiv ist, muss es also auch zu besagtem [mm] $Y_0 \in [/mm] P(X)$
ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_0)=Y_0$ [/mm] geben.
Nun gibt es aber nur zwei Möglichkeiten:
(Entweder) Es ist
1. Fall: [mm] $x_0 \in Y_0$
[/mm]
oder es ist
2. Fall: [mm] $x_0 \notin Y_0\,.$
[/mm]
Wenn man sich das aber anguckt, sieht man, dass weder der 1. Fall noch
der 2. Fall funktioniert. Daraus schließt man dann, dass die Annahme, dass
[mm] $f\,$ [/mm] surjektiv sei, verworfen werden muss, und das beendet den (Widerspruchs-)
Beweis.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.
zum
> 1. Fall: [mm]x_0 \in Y_0[/mm]
Wenn [mm] $x_0 \in Y_0$ [/mm] ist, dann folgt per Definitionem von [mm] $Y_0$ [/mm] sofort
[mm] $x_0 \notin f(x_0)\,.$
[/mm]
Nun war aber [mm] $f(x_0)=Y_0\,,$ [/mm] also...?
> oder es ist
>
> 2. Fall: [mm]x_0 \notin Y_0\,.[/mm]
Hier beachtet man, dass ja [mm] $Y_0=f(x_0)$ [/mm] gilt. Setzt man das ein, so sieht man,
dass für das [mm] $x_0 \in [/mm] X$ halt [mm] $x_0 \notin f(x_0)$ [/mm] gilt. Schaut man sich jetzt aber
nochmal die Definition von [mm] $Y_0$ [/mm] so, muss damit aber gerade [mm] $x_0 \in [/mm] ...$ gelten.
Ich hoffe, Du erkennst selber den einen Schritt jeweils, den man braucht,
um den Widerspruch (im jeweiligen Fall) einzusehen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Danke für deine Hilfe
erst zu M.Rex :
Ja ich habe drüber nachgedacht und es ist logisch das wenn M eine Teilmenge von X ist, auch ein Element von P(X) ist ist, da P(x) die Teilmenge aller Mengen von X ist und somit auch M als Element enthält..
zu Marcel:
Danke, das hilft mir seh und bis zu Fall 2 kann ich alles nachvollziehen. Fall 1 ist ein Widerspruch in sich und kann daher nicht auftreten..
zu Fall 2: dieser ist doch auch ein Widerspruch, denn wenn x0 kein Element aus M ist, dann darf es auch nicht die gleiche Definiton haben. Und alle Werte x0 die kein Element von f(x0) sind, liegen ja schon in M..richtig? oder wie kann ich dies formulieren?
Frage 2: Wie kann ich mir f(z) vorstellen? ist eine ziemlich banale Frage aber irgendwie stehe ich da am Schlauch. Klar. das sind die y-Werte von z...aber wie kommt man auf diese Defintion von M?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Hilfe
> erst zu M.Rex :
> Ja ich habe drüber nachgedacht und es ist logisch das
> wenn M eine Teilmenge von X ist, auch ein Element von P(X)
> ist ist, da P(x) die Teilmenge aller Mengen von X ist und
> somit auch M als Element enthält..
>
> zu Marcel:
> Danke, das hilft mir seh und bis zu Fall 2 kann ich alles
> nachvollziehen. Fall 1 ist ein Widerspruch in sich und kann
> daher nicht auftreten..
ja, das sind beides Widersprüche in sich. Ich schreibe es mal auf:
1. Fall: Sei
[mm] $(\star)$ $x_0 \in Y_0\,.$ [/mm]
Dann gilt nach Definition von [mm] $Y_0\,,$ [/mm] dass [mm] $x_0 \notin f(x_0)\,.$ [/mm] Wegen [mm] $f(x_0)=Y_0$ [/mm] folgt
dann aber [mm] $x_0 \notin Y_0\,,$ [/mm] was [mm] $(\star)$ [/mm] widerspricht.
> zu Fall 2: dieser ist doch auch ein Widerspruch, denn wenn
> x0 kein Element aus M ist, dann darf es auch nicht die
> gleiche Definiton haben. Und alle Werte x0 die kein Element
> von f(x0) sind, liegen ja schon in M..richtig? oder wie
> kann ich dies formulieren?
Das verstehe ich nicht - ich schreibe es halt auch mal wieder aus:
2. Fall: Sei
[mm] $(\star\star)$ $x_0 \notin Y_0\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $Y_0=f(x_0)$ [/mm] gilt dann [mm] $x_0 \notin f(x_0)\,.$ [/mm] Es ist dann aber [mm] $x_0 \in [/mm] X$ mit
[mm] $x_0 \notin f(x_0)\,,$ [/mm] so dass nach Definition von [mm] $Y_0$ [/mm] daher [mm] $x_0 \in Y_0$ [/mm] gelten muss.
Das widerspricht aber [mm] $(\star\star).$
[/mm]
> Frage 2: Wie kann ich mir f(z) vorstellen? ist eine
> ziemlich banale Frage aber irgendwie stehe ich da am
> Schlauch.
Deswegen verwerfe am Besten jede Vorstellung - ich müßte auch nochmal
nachgucken, wer genau auf die Idee kam, diese Menge einzuführen (ob
das Cantor oder Lebesgue oder ganz ein anderer war...). "Logisch" ist es
vielleicht gar nicht so abwegig - ich meine, man hätte auch erstmal die Idee
haben können, sowas wie
[mm] $\{x \in X:\;\; x \in f(x)\}$
[/mm]
zu betrachten, was sicher nicht zielführend gewesen wäre. Ich glaube, dass
das auch weniger was mit "Vorstellung" zu tun hat, als vielmehr mit einem
Ansatz der Form
[mm] $\{x \in X:\;\;x \text{ steht in irgendeinem, noch näher zu bestimmenden Zshg. mit }f(x)\}\,.$
[/mm]
Denn man will ja irgendein Element aus [mm] $P(X)\,$ [/mm] "finden", zu dass es kein Urbild
bzgl. [mm] $f\,$ [/mm] gibt.
> Klar. das sind die y-Werte von z...aber wie kommt
> man auf diese Defintion von M?
S.o.: Mein Tutor in WT meinte damals: "Bei manchen Dingen in der Mathematik
kann man sich deren Herkunft nicht wirklich erklären - so auch hier, jedenfalls
kann ich mir das nicht erklären. Da hatte wohl jemand eine göttliche
Eingebung..."
Und er meinte auch (denn wir hatten diese Aufgabe eben zu beweisen,
mit dem Hinweis, diese Menge da zu betrachten): "Versuchen Sie am
Besten erst gar nicht, sich zu erklären, wie man an sowas kommt. Nehmen
Sie es halt hin, dass wir Ihnen diese Menge vorwerfen, denn sie müssen
ja nur mit ihr arbeiten - die "Entwicklung" haben wir Ihnen abgenommen."
So in etwa jedenfalls - wortwörtlich war der Laut vielleicht etwas anders,
aber sinngemäß habe ich das einigermaßen korrekt widergegeben. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
danke für deine bzw. eure Hilfe, dass hlilft mir sehr weiter bei der Bearbeitung der restlichen Aufgaben..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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