Mächtigkeit von R und R x R < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 So 13.03.2011 | | Autor: | midgard |
| Aufgabe | Satz (Satz von Cantor über die Mächtigkeit von [mm] \IR \times \IR)
[/mm]
Es gilt [mm] |\IR \times \IR| [/mm] = [mm] |\IR|.
[/mm]
Beweis
Es gilt [mm] |\IR| \le |\IR \times \IR|.
[/mm]
Betrachte hierzu i : [mm] \IR \to \IR \times \IR [/mm] mit i(x) = (x, 0) für x [mm] \in \IR. [/mm] Dann ist i injektiv.
Es bleibt zu zeigen, daß [mm] |\IR \times \IR| \le |\IR|.
[/mm]
Sei g : [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ [/mm] bijektiv mit g(0, 0) = 0.
Sei (x, y) [mm] \in \IR\times\IR. [/mm] Wir schreiben x und y in kanonischer Dezimaldarstellung:
x = c, a0 a1 a2 . . . ,
y = d, b0 b1 b2 . . . .
mit c, d [mm] \in \IZ.
[/mm]
Wir definieren nun f : [mm] \IR \times \IR \to \IR [/mm] durch „Mischung“ der Nachkommastellen im Reißverschlußverfahren:
f(x, y) = g(c, d), a0 b0 a1 b1 a2 b2 . . .
Dann ist f(x, y) in kanonischer Darstellung, und damit ist offenbar f injektiv.
(f(0, 0) = 0,000 . . . ist in kanonischer Darstellung wegen
g(0, 0) = 0.)
Übung
Die Abbildung f im obigen Beweis ist nicht surjektiv.
Genauer gilt: [mm] \IR [/mm] - rng(f ) ist abzählbar unendlich. |
Hallo,
ich verstehe den Beweis. die Übung darunter bekomme ich aber leider nicht hin.
Was ist denn die kanonische Dezimaldarstellung genau?
Ich nehme an, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, weil z. B. [mm] 0,\overline{89} [/mm] kein Urbild hat. y müsste ja [mm] 0,\overline{9} [/mm] sein und das geht nicht, weil [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] ist und wir natürlich eine eindeutige Dezimaldarstellung fordern müssen, sonst haben wir nicht mal eine Funktion (wenn wir dagegen das unübliche [mm] 0,\overline{9} [/mm] erlauben, müssen wir 1,0000... verbieten und haben mit [mm] 1,\overline{01} [/mm] wieder ein Gegenbeispiel).
Die Frage ist, wenn das stimmt, warum ist die Menge der Zahlen, die nicht im Bild von f sind, nur abzählbar unendlich?
Ich würde sagen, wenn jede Zahl, die immer in jeder zweiten Dezimalstelle eine 9 hat, nicht im Bild ist, ist doch [mm] \IR [/mm] - rng(f ) überabzählbar?
Ich kann doch immer noch in allen ungeraden Stellen, also in unendlich vielen Stellen, setzen was ich will!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 So 13.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ich würde sagen, wenn jede Zahl, die immer in jeder
> zweiten Dezimalstelle eine 9 hat, nicht im Bild ist, ist
> doch [mm]\IR[/mm] - rng(f ) überabzählbar?
Sehe ich auch so, damit ist die Behauptung so falsch. Ich tippe aber darauf, dass das Maß dieser Menge trotzdem Null ist.
SEcki
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Für die Zahl
x = 0,001919191919191919191919191....
wären die beiden Ausgangszahlen
0,01111111111.... und 0,099999999999..., wobei die zweite Zahl aber so nicht in kanonischer Weise geschrieben wird, sondern als 0,1. Demzufolge wäre
f(0,0111111111.., 0,1) = [mm] 0,01101010101010101...\not=x, [/mm] für x gibt es kein Urbild (und auch keine andere Dezimalschreibweise).
Die nicht erfassten Elemente sind also genau die, die "ab irgendwann" entweder in jeder geraden oder in jeder ungeraden Stelle nur noch 9-en hat. (Nicht beides, sonst wäre eine solche Zahl identisch mit einer verkürzten wie oben die 0,1 und hätte damit ein Urbild)
Bleibt nur noch die Abzählbarkeit solcher Zahlen zu bedenken....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 Mo 14.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Bleibt nur noch die Abzählbarkeit solcher Zahlen zu
> bedenken....
das sind sie aber leider nicht, da man z.B. sehr einfach die Potenzmenge von [mm] $\IN$ [/mm] in die Menge dieser Zahlen einbetten kann -- und die ist bekanntlich ueberabzaehlbar.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Mo 14.03.2011 | | Autor: | midgard |
Danke euch allen. Also überabzählbar.
Die Aufgabe stand übrigens so in Deisler: Mengenlehre.
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