Majorante od Minorante finden < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Wie finde ich die Minor oder Majorante zu folgender Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{ \wurzel{n}}{1+n^2} [/mm]
[mm] |\bruch{ \wurzel{n}}{1+n^2}| \ge \bruch{n^3}{1+n^2} [/mm] im Nenner ist [mm] n^2 [/mm] dominierend darum wirkt sich der 1 nicht aus und man kann schreiben
[mm] \bruch{n^3}{n^2} [/mm] = n und die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}n [/mm] ist divergent kann man da so argumentieren.
wenn ich aber den Nenner nur um n größer mache also ist [mm] \bruch{n^2}{1+n^2} [/mm] trotzdem kleiner als [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{ \wurzel{n}}{1+n^2} [/mm] dann würde ja 1 rauskommen was aber konvergent ist darum bin ich mir nicht sicher ob das so stimmt
Danke Stevo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Stevarino!
Deine Abschätzungen sind falsch resp. bringen nichts.
Stattdessen schätzt man so ab:
[mm] $\frac{\sqrt{n}}{1+n^2} \le \frac{\sqrt{n}}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$.
[/mm]
Da für $s [mm] \in \IR$ [/mm] die Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$
[/mm]
bekanntlich für $s>1$ konvergiert, folgt die Konvergenz der Ausgangsreihe nach dem Majorantenkriterium.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
