Majoranten- u. Minorantenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 30.08.2009 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.
Summe k=2 bis unendlich soll das bedeuten
[mm] sum_{k=2}^{N} (k^2+k)/(k^5-5k+4)
[/mm]
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ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Freunde,
ich brauch mal nen Tip zu Majoranten- bzw. Minoratenkriterien.
Woher weiß ich, welches Kriterium ich anwende? Oder ist es egal, weil die Gleiche Lösung rauskommt.
Soweit ich mich jetzt eingelesen und das verstanden habe, benutzt man das Majorantenkrit. um eine Konvergenz und das Minoratenkrit. um eine Divergenz zu erkennen. Wie entscheide ich also bei o.g. Aufgabe, welches ich anwenden muss/darf/kann. Woher erkennt man bspweise, dass ich es auf eine Majorante der Form [mm] 4/k^3 [/mm] herleiten soll?
Dankeschön und einen schönen Sonntag noch
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> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw.
> Divergenz.
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> [mm]\sum_{k=2}^{\infty}\,\frac{k^2+k}{k^5-5k+4}[/mm]
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> Hallo Freunde,
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> ich brauch mal nen Tip zu Majoranten- bzw.
> Minoratenkriterien.
> Woher weiß ich, welches Kriterium ich anwende? Oder ist
> es egal, weil die gleiche Lösung rauskommt.
>
> Soweit ich mich jetzt eingelesen und das verstanden habe,
> benutzt man das Majorantenkrit. um eine Konvergenz und das
> Minorantenkrit. um eine Divergenz zu erkennen. Wie
> entscheide ich also bei o.g. Aufgabe, welches ich anwenden
> muss/darf/kann. Woher erkennt man bspweise, dass ich es auf
> eine Majorante der Form [mm]4/k^3[/mm] herleiten soll?
Hallo René,
zuerst musst du dir Zähler und Nenner der Summanden
anschauen. Bei solchen Polynomen ist für grosse k
jeweils das Glied mit dem höchsten Exponenten dominant,
hier also im Zähler das [mm] k^2 [/mm] und im Nenner das [mm] k^5.
[/mm]
Stünden nur diese alleine da, so hätte man [mm] \frac{k^2}{k^5}=\frac{1}{k^3}
[/mm]
Dass die Summe
[mm] $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^3}$
[/mm]
konvergent ist, ist sicher schon bekannt oder allen-
falls leicht zu beweisen. Also versucht man nun zur
vorliegenden Reihe eine Majorante mit Summanden
der Form [mm] \frac{A}{k^3} [/mm] zu bestimmen. Um eine Konstante A zu
bestimmen, die den Dienst tut, sind dabei aber
noch ein paar Betrachtungen notwendig, welche
den Einfluss der übrigen Glieder des Zählers und
des Nenners betreffen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 30.08.2009 | | Autor: | Reen1205 |
Okay, das konnte ich nachvollziehen. Um jetzt nocheinmal mein Verständnis darzulegen versuch ich das jetzt hiermal auf die Aufgabe
[mm] $ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+2}{k^2+5} $
[/mm] anzuwenden.
Die beiden dominanten Exponenten wären hier [mm]\frac {k}{k^2}[/mm] also die Reihe [mm]\frac{1}{k}[/mm] die als harmonische Reihe divergiert. Folglich wende ich dann, das Minorantenkriterium an. Nun muss ich den Term nur so umstellen, dass ich auf eine geeignet Form [mm]\frac{A}{k}[/mm] komme.
[mm]\frac{k+2}{k^2+5}>=\frac{k}{(k^2+5)}>=\frac{k}{2k^2}>= \frac{1}{2k}[/mm]
somit ist bewiesen dass auch [mm]\frac{(k+2)}{(k^2+5)}[/mm] divergiert, weil die Minorante [mm]\frac{\frac{1}{2}}{k}[/mm] auch divergiert.
Ist das so richtig hergeleitet?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Folglich wende ich dann, das
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
