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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 So 15.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{k+5}{3k^{3} -2k +1}
[/mm]
(Hinweis: Majoranten-Kriterium) |
Hallo,
in der Vorlesung haben wir uns aufgeschrieben:
Es sei [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} a_{k} [/mm] vorgegeben.
Gibt es eine konvergente Majorante, das ist eine konvergente
Reihe [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} c_{k} [/mm] mit
[mm] |a_{k}| \le c_{k} [/mm] für alle k [mm] \in \IN,
[/mm]
so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} a_{k} [/mm]
Dazu dann noch den Beweis...
Wie kann ich jetzt von der genannten Aufgabe aus auf das Majorantenkriterium schließen?
Woher soll ich mir jetzt ein [mm] summe_{k=1}^{ \infty} c_{k} [/mm] herzaubern? Mit dem ich dann so ein Vergleich machen kann...
Im Allgemeinen, wie handle ich mit so einer Aufgabe überhaupt...
und wie setze ich die Theorie in die Praxis (auf die obige Aufgabe) um...
Hierzu habe ich keine leiseste Ahnung, noch nicht mal eine "in den falschen Weg laufende" Vorstellung.
Für Hilfe und Beantwortung vielen Dank im Voraus.
Gruß Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 15.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Doreen,
Konvergenzbeweise über Majorantenkriterium laufen im Endeffekt meistens auf eine ziemlich wüstes Abschätzen der einzelnen Summanden hinaus.
Die Kunst ist, durch scharfes Hinschauen ein passendes [mm] c_k [/mm] zu finden, das so gross ist, dass es sicher über [mm] a_k [/mm] liegt, aber auch noch so klein, dass es konvergiert.
In diesem Fall verhalten sich die Summanden für k [mm] \to \infty [/mm] ja wie irgendetwas von der Größenordnung [mm] 1/k^2, [/mm] also wollen wir doch versuchen, so eine Majorante zu konstruieren, d.h. die Summen im Zähler und Nenner zu eliminieren.
[mm]a_k = \frac{k+5}{3k^3-2k+1}[/mm]
Um den Wert zu vergrößern müssen wir den Zähler vergrößern oder den Nenner verkleinern. Da die ersten Summanden nicht interessieren (Konvergenz hängt ja nur vom Verhalten "für schließlich alle k" ab) können wir für [mm] k\ge [/mm] 5 die 5 im Zähler durch ein k ersetzen:
[mm]a_k \le \frac{k+k}{3k^3 - 2k+1} = \frac{2k}{3k^3 -2k +1}[/mm]
Damit wäre die Summe im Zähler erschlagen (die Gefahr ist aber immer, dass wir jetzt schon zu grob abgeschätzt haben und unsere Majorante schon nicht mehr kovergiert....)
Die +1 im Nenner könnte man einfach weglassen (macht den Wert nur größer), problematisch ist aber das -2k: wenn das wegfällt würde unsere Abschätzung wieder kleiner, das darf aber nicht sein. Also borgen wir uns von vorne ein [mm] k^3 [/mm] und schreiben:
[mm]a_k \le \frac{2k}{2k^3 + (k^3 -2k +1)}[/mm]
Die Klammer im Nenner wird aber für hinreichend großes k immer positiv sein (die genaue Grenze darst Du suchen wenn Du willst), d.h. weglassen der Klammer vergrößert wieder den Wert:
[mm]a_k \le \frac{2k}{2k^3} = \frac{1}{k^2}[/mm]
Also ist [mm] \sum \frac{1}{k^2} [/mm] eine Majorante und noch dazu konvergent,somit konvergiert auch unsere Ausgangsreihe.
Gruß
piet
P.S.: Die Betragsstriche in der Abschätzung konnten wir uns sparen, weil die [mm] a_k [/mm] ja sowieso alle positiv sind. Das sollte aber zumindest irgendwo erwähnt sein.
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