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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 01.12.2009 | | Autor: | kolja2 |
| Aufgabe | Benutzen Sie das Majorantenkriterium um zu zeigen, dass die Reihe
[mm] \summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!}
[/mm]
konvergiert. Genauer: Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen k [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] a_{k} \in \IR [/mm] existiert, so dass fast alle n [mm] \in \IN [/mm] die Ungleichung
[mm] \bruch{1}{n!} \le a_{k} (\bruch{1}{k})^{n}
[/mm]
gilt. Berechnen Sie den Wert von [mm] \summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!} [/mm] auf drei Nachkommastellen! |
Hi Leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin bei dieser Aufgabe wirklich ratlos.
Ich weiß, dass eine Reihe [mm] \summe_{b_{n}} [/mm] eine Majorante der Reihe [mm] \summe_{a_{n}} [/mm] heißt, wenn [mm] |a_{n}| \le b_{n} [/mm] ist.
Aber ich weiß nicht, wie man die Konvergenz hier bestimmt oder die Ungleichung auflösen kann.
Ich bedanke mich schon mal im Voraus.
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Hallo Kolja,
machen wir die Aufgabe mal in 2 Schritten:
1.) Du sollst zeigen, dass die Reihe [mm] $\summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!}$ [/mm] konvergiert und zwar mit der Abschätzung
[mm] $\bruch{1}{n!} \le a_{k} \left(\bruch{1}{k}\right)^{n}$
[/mm]
Erstmal vorweg: Hast du denn eine Ahnung, was dir diese Abschätzung (die ja für alle [mm] $k\in \IN$ [/mm] gilt) bringen könnte?
Kannst du damit die Reihe [mm] $\summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!}$ [/mm] nach oben abschätzen? Bedenke, dass die Abschätzung ja für ALLE [mm] $k\in\IN$ [/mm] für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt, insbesondere auch für ein von dir gewähltes spezielles $k$ !
Was kannst du über die nach oben abgeschätzte Reihe sagen und damit über die Ursprungsreihe?
2.) Um die Ungleichung oben nutzen zu können, musst du sie ja nun beweisen. Hast du dazu denn eine Idee, was die Ungleichung letztendlich aussagt? Was sagt sie denn aus für $k = 2,3,...$ ? Was heisst in der Aussage denn "für fast alle [mm] $n\in\IN$" [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 01.12.2009 | | Autor: | kolja2 |
1.)Das heißt doch, wenn ich diese Abschätzung mache, habe ich eine obere Grenze für $ [mm] \summe_{n\ge0}\bruch{1}{n!} [/mm] $ , da $ [mm] \bruch{1}{n!} \le a_{k} \left(\bruch{1}{k}\right)^{n} [/mm] $
Die Reihe kann ich nach oben abschätzen und so weiß ich doch, dass es eine obere Schranke gibt und außerdem ist sie monoton wachsen, was heißt, dass die Ursprungsreihe konvergiert., oder?
2.)Letztlich müsste die Ungleichung, die obere Schranke angeben, also auch für k=2,3.
Aber dass mit dem für fast alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $ habe ich nicht verstanden und soll ich sie dann formal versuchen aufzulösen?
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Hiho,
> Die Reihe kann ich nach oben abschätzen und so weiß ich
> doch, dass es eine obere Schranke gibt und außerdem ist
> sie monoton wachsen, was heißt, dass die Ursprungsreihe
> konvergiert., oder?
hm, meinst du jetzt. Wenn du eine monoton wachsende obere Schranke findest, dann konvergiert die Ursprungsreihe? Öhm.... nein.
Aber in diesem Fall kannst du zeigen, dass die obere Schranke konvergiert.
Warum tut sie das? Schreib sie doch mal hin.
> 2.)Letztlich müsste die Ungleichung, die obere Schranke
> angeben, also auch für k=2,3.
> Aber dass mit dem für fast alle [mm]n\in\IN[/mm] habe ich nicht
> verstanden und soll ich sie dann formal versuchen
> aufzulösen?
Nein, du musst die obere Schranke nicht angeben, sondern die Ungleichung für alle [mm] k\in\IR [/mm] beweisen.
Wie sieht die Ungleichung denn für $k=2$ aus?
Kannst du sie für diesen Spezialfall denn beweisen?
MFG,
Gono.
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