Mal wieder Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Monemi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen,
bin grad am nachkorrigieren meiner Hausarbeit und bin dabei noch auf eine kleine Frage gestoßen.
Gegeben ist die Funktion f (x ) = [x]-x im Intervall [-3,3]; wobei [x] die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist bezeichnet ( Bsp. [-3,5]=-4 )
Gefragt wird nah der Stetigkeit mit Begründung.
Ich habe die Funktion wie auch gefragt skizziert und bin auf die Lösung gekommen, dass f(x) wohl stetig ist. Begründung:
- keine Sprungstellen oder Lücken
- in jedem Punkt im Intervall stetig
Ist die Begründung mathematisch gesehen nicht ein bißchen mager?
Danke für Eure Meinung und Eure Verbesesrungsvorschläge.
Liebe Grüße
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Hallo!
In der Tat ist diese Begründung mathematisch ein bisschen mager, nicht zuletzt deshalb, weil deine Behauptung nicht stimmt.
Die Funktion $[.]:\ [mm] \IR\to \IR$ [/mm] bildet ja eigentlich nur nach [mm] $\IZ$ [/mm] ab - kann also gar nicht stetig sein. Bei jeder ganzen Zahl ist hier eine Sprungstelle! Und für [mm] $x\mapsto [/mm] [x]-x$ gilt das folglich auch, da [mm] $x\mapsto [/mm] x$ stetig ist.
Versuch's vielleicht nochmal mit einer neuen Skizze und mach dir ganz genau klar, was diese Funktion eigentlich tut!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Monemi |
Ist da der Wert nicht bei jeder ganzen Zahl 0?
Bsp: [4]-4 =0
Dann ist das doch keine Sprungstelle, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Monemi!
Deine Funktion war doch [mm] $f:\,[-3;3] \to \IR$, [/mm] $f(x)=[x]-x$ (wobei $[.]$ die Gaußklammer sei). Betrachte jetzt z.B. einmal die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch:
[mm] $x_n:=3-\frac{1}{n}$ [/mm] ([mm]n \in \IN=\{1,\;2,\;3,\;\ldots\}[/mm]).
Was ist nun [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n$? [/mm] Gilt die Gleichheit:
[mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f\left(\lim_{n \to \infty}x_n\right)$?
[/mm]
Was heißt das für die Stetigkeit?
Zum Graphen deiner Funktion (Versuch einer anschaulichen Erklärung):
An der Stelle [mm] $x_0=3$ [/mm] liegt z.B. eine Sprungstelle vor, denn:
$f(3)=[3]-3=3-3=0$ (da $[3]=3$).
Aber im Intervall $[2,3[$ startet der Graph der Funktion bei dem Punkt $P(2,0)$ und läuft ("geradlinig" im 45°-Winkel nach unten) unendlich nahe an den Punkt $Q(3,-1)$, allerdings gehört $Q$ nicht mehr zu dem Graphen von $f$. Anstatt, dass man den Graph an dem Punkt $Q(3,-1)$ weiterzeichnen könnte, muß man zu dem Punkt $R(3,0)$ springen (der zuletzt genannte gehört zum Graphen von $f$, wegen $f(3)=0$), also ist z.B. [mm] $x_0=3$ [/mm] eine Sprungstelle. Na, und wo vermutest du denn noch Sprungstellen? Und wie sieht der Graph der Funktion denn richtig aus?
(Versuche mal, das Schaubild mithilfe des Graphen der Funktion [mm] $g:[0,1[:\;\IR \to \IR$, [/mm] $g(x)=-x$ mit Worten zu beschreiben!)
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Monemi |
Erst einmal Danke für die Hilfe und Dein Verständnis für mein Unverständnis.
Werd mir das mal durch den Kopf gehen lassen und Dir dann antworten. Wird leider bestimmt erst heut Abend, weil meine kleine Tochter der Sinn oder Unsinn von Stetigkeit ziemlich egal ist .
Also, nochmal Danke
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Monemi |
Ah, jetzt ja... ich glaube ich weiß wo mein Fehler liegt.
Die gegebene Funktion sieht etwa so ist:
Bei -3 angefangen beginnt bei jeder ganzen Zahl eine nach rechts negativ verlaufende "Gerade" im 45° Winkel bis 2,9999... .
Und dann gehts wieder oben bei 0 los.
Das erklärt, warum Du Sprungstellen hast und ich nicht. ( Es war so einfach das zu verbinden ohne richtig nachzudenken )
Ja, und dann ist die Funktion ja nicht stetig, eben wegen der Sprungstellen.
Muß man das noch weiter Begründen?
Lieben Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Monemi |
Hallo Marcel,
hab meine Antwort grad irgendwie als Mitteleilung geschrieben, die dazu noch ein bißchen wirr war, da ich meine Süße grad auf dem Arm hatte.
Also nocheinmal, damit Du verstehen kannst, ob ich nun richtig liege:
Meiner Meinung nach sieht die gegegebene Funktion wie folgt aus: ( so wie Du es ja prima beschrieben hast )
Bei jeder ganzen Zahl ( sprich -3, -2.... ) beginnt eine nach recht unten laufendende "Gerade" im 45° Winkel. Ich habe es dann einfach nach oben verbunden, was jedoch falsch ist. Deshalb hatte ich keine Sprungstellen...
Damit ist die Funktion natürlich NICHT stetig, weil an den Sprungstellen der rechts und linksseitige Grenzwert verschieden ist.
Reicht das als Begründung oder fehlt da noch was?
Danke! Danke! Danke!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Monemi!
> Hallo Marcel,
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> hab meine Antwort grad irgendwie als Mitteleilung
> geschrieben, die dazu noch ein bißchen wirr war, da ich
> meine Süße grad auf dem Arm hatte.
Kein Problem, dafür habe ich vollstes Verständnis, dass du dich lieber gut um deine Tochter kümmerst  .
> Also nocheinmal, damit Du verstehen kannst, ob ich nun
> richtig liege:
>
> Meiner Meinung nach sieht die gegegebene Funktion wie folgt
> aus: ( so wie Du es ja prima beschrieben hast )
>
> Bei jeder ganzen Zahl ( sprich -3, -2.... ) beginnt eine
> nach recht unten laufendende "Gerade" im 45° Winkel.
Hm, wenn ich das richtig verstehe, dann meinst du das folgende (so ganz eindeutig ist deine Beschreibung nicht, aber ich denke, du meinst das, was ich jetzt schreibe):
Der Graph der Funktion [mm] $f:\,[-3,3] \to \IR$, [/mm] $f(x)=[x]-x$ läßt sich "konstruieren", indem man zunächst einmal den Graph der Funktion [mm] $g:\,[0,1[ \to \IR$, [/mm] $g(x)=-x$ zeichnet (denn wegen $[x]=0$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1[$ gilt:
[mm]f_{|[0,1[}=g[/mm]).
Nun nimmt man dieses so entstandene Geradenstück (also den Graphen von $g$) verschiebt es um eine Einheit nach rechts (also entlang der $x$-Achse), d.h. man setzt den "Startpunkt" für dieses Geradenstück an den Punk [mm] $P_1(1,0)$ [/mm] an. Das Gleiche Spiel noch einmal (Startpunkt: [mm] $P_2(2,0)$). [/mm] Und dann markiert man noch den Punkt $R(3,0)$, der ja auch zu dem Graphen von $f$ gehört. Damit haben wir den Graphen von [mm] $f_{|[0,3]}$ [/mm] schon einmal gezeichnet!
Jetzt kümmern wir uns noch einmal um den Graphen von [mm] $f_{[-3,0[}$. [/mm] Das ist genau das gleiche wie eben:
Man nehme das Geradenstück, dass man durch den Graphen von $g$ erhält und die Startpunkte [mm] $P_3(-3,0)$, $P_4(-2,0)$ [/mm] und [mm] $P_5(1,0)$ [/mm] und setze es jeweils dort an.
Zur Sicherheit kannst du dir das ganze auch hier mal angucken:
![[]](/images/popup.gif) http://www.jjam.de/Java/Applets/Mathematik/FunktionsPlotter.html (als Funktion gibst du: $f(x)=int(x)-x$ an!).
> Ich
> habe es dann einfach nach oben verbunden, was jedoch falsch
> ist.
Ja, denn dann wäre das ja ein Geradenstück parallel zur y-Achse, und damit gäbe es $x$-Werte, denen mehr als ein $y$-Wert zugeordnet mit und $f$ wäre damit überhaupt keine Funktion mehr!
> Deshalb hatte ich keine Sprungstellen...
>
> Damit ist die Funktion natürlich NICHT stetig, weil an den
> Sprungstellen der rechts und linksseitige Grenzwert
> verschieden ist.
Ja, die "Sprungstellenmenge" $ST$ ist bei dir die folgende:
[mm] $ST=\{-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\}$. [/mm] Für jedes $z [mm] \in [/mm] ST$ gilt dann:
[mm] $\lim_{x \to z;\;x < z} [/mm] f(x)=-1$ (linksseitiger Grenzwert an der Stelle $z$); aber [m]f(z)=0 \not=-1[/m]. Natürlich geht es auch, wenn du sagst, dass:
[mm] $\lim_{x \to z;\;x > z}f(x)=0$ [/mm] (rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle $z$), jedoch musst du dann beachten, dass du für $z=3$ ja keinen rechtsseitigen Grenzwert hast, da $f$ ja nur auf dem Intervall $[-3,3]$ definiert ist und du dann doch wieder dabei auf meine Argumentation zurückgreifen musst. Aber das ist jetzt eher eine formale Sache, die zum Verständnis nichts wesentliches beiträgt  !
> Reicht das als Begründung oder fehlt da noch was?
Naja, wie du gesehen hast, habe ich schon angegeben, wie die linksseitigen Grenzwerte lauten. Aber anstatt das nur abzulesen, kann man das auch ganz formal nachrechnen, vielleicht solltest du das noch tun! Kommt drauf an, wie penibel bei euch korrigiert wird !
> Danke! Danke! Danke!
Bitte, bitte!
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Mo 25.04.2005 | | Autor: | Monemi |
Zuerst habe ich gelernt, alles zu Ende zu lesen. Hab gewuselt um herauszufinden wie man das in den Plotter eingibt - dabei hattest Du es ja sogar druntergeschrieben.
Na, ja. Die Funktion sah aus wie meine Skizze. ( Freu!) Das mit dem formal berechnen muß ich mir noch gaaaaaaanz genau überlegen - wie Du merkst ist Mathe nicht meine größte Stärke.
Da ich hier bisher weder zu Vorlesungen oder Übungen war ( endlich Urlaub "grins" ) gehe ich zu Gunsten des Profs von seiner Großzügigkeit aus.
Dir auf jeden Fall vielen, vielen Dank.
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