Mal wieder vollst. Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Di 15.11.2005 | | Autor: | dk_ |
Schönen guten abend,
Ich zermartere mir schon den ganzen Tag den Kopf, aber ich find einfach keinen Lösungsweg. Hat vielleicht jemand einen Tipp? Für n sollte ich am Besten 0 nehmen oder?
[mm] \cal{A} [/mm] = n [mm] \Rightarrow \cal{P}(\cal{A}) [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Di 15.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen! also ich hatte diese aufgabe vor wenigen wochen und versuche dir jetzt mal unseren lösungsweg plausibel zu machen:
also erstmal setzt du n=1 und wirst feststellen, dass eine wahre aussage entsteht. nun musst du ja durch induktion von n auf n+1 schließen,d.h. es ist zu zeigen eine menge mit n+1 elementen hat eine potenzmenge von [mm] 2^{n+1}. [/mm]
jetzt überlegst du dir folgendes: sei M eine menge von n+1 elementen und eines dieser elemente sei a. nun betrachte M ohne a. diese menge hat nach voraussetzung [mm] 2^{n} [/mm] verschiedene teilmengen m1,m2,m3........ diese sind alle teilmengen der ausgangsmenge. nun betrachte die vereinigung der mengen m1 mit a, m2 mit a, m3 mit a...... und du wirst feststellen, auch sie sind teilmengen der ausgangsmenge und jeweils verschieden von m1,m2,m3.....wir haben somit [mm] 2^{n}+ 2^{n}=2* 2^{n}= 2^{n} [/mm] q.e.d
andere teilmengen gibt es übrigens nicht, da sie entweder zu m mit a oder m ohne a gehören.
ist dir damit geholfen?
liebe grüße
Franzie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 15.11.2005 | | Autor: | dk_ |
ja sehr, vielen dank!
weiß nur nicht wie ich das jetzt mathematisch korrekt hinschreiben soll. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo dk_,
was ist den mathematisch? Muss da immer +, -, (), oder so etwas stehen?
Sei die Menge aller Teilmengen einer Menge M die Potenzmenge Pot(M).
Die Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge sei card M = n
Zu zeigen:
Hat eine Menge die Mächtigkeit n, so hat ihre Potenzmenge die Mächtigkeit [mm] 2^{n}.
[/mm]
Beweis:
Induktionsanfang: Ich fange mal, entgegen dem Vorschlag von Franzie, schon bei n=0 an, also beginne mit der leeren Menge.
Für die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] ist card [mm] \emptyset [/mm] = 0
Pot [mm] (\emptyset)= \{\emptyset\} \Rightarrow [/mm] card Pot [mm] {(\emptyset)}=1=2^{0}
[/mm]
Induktionschritt: Die Menge M habe n+1 Elemente. Bildet man die Menge M', indem man ein Element entfernt, dann gilt ja [mm] Pot(M')=2^{n} [/mm] - haben wir oben bewiesen.
Man erhält dann Pot(M) aus Pot(M'), indem man zu jedem Element aus Pot(M') noch das vorher entfernte Element wieder hinzufügt.
[mm] \Rightarrow 2*2^{n}=2^{n+1}=Pot(M) [/mm] q.e.d.
Franzie hatte hier das +1 unterschlagen.
Jetzt zufriedener?
Somit hatte Bastiane ebenfalls recht 
Liebe Grüße
Herby
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