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| Aufgabe | Man zeige:
Für [mm] \alpha [/mm] > 0 und n [mm] \ge [/mm] 2 wird durch
[mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^4 [/mm] +...+ [mm] x_{n}^{n} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
eine Mannigfaltigkeit im [mm] \mathbb{R}^{n} [/mm] definiert. Was ist ihre Dimension? |
Satz:
Sei F : [mm] \mathbb{R}^{n} \to R^{n-m} [/mm] eine [mm] C^{\infty} [/mm] Funktion für die dF auf der Nullstellenmenge M von F immer vollen Rang n-m hat. Dann ist M eine m dimensionale diffbare Mannigfaltigkeit.
Hallo,
also ich prüfe einfach die Voraussetzungen von oben:
M:={ [mm] (x_{1},...,x_{n} \in \mathbb{R}^{n} [/mm] : [mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^4 [/mm] +...+ [mm] x_{n}^{n} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] = 0}
dF = [mm] (2x_{1}, 4x_{2}^3 [/mm] , .... [mm] 2nx_{n}^{2n-1}) [/mm] , dF verschwindet nur bei [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] = 0 , dies liegt aber nicht in M also wird eine n-1 dim. diffbare Mannigfaltigkeit festgelegt.
Wars das wirklich schon ?
Vielen Dank und lg
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Satz:
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> Sei F : [mm]\mathbb{R}^{n} \to R^{n-m}[/mm] eine [mm]C^{\infty}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Funktion
> für die dF auf der Nullstellenmenge M von F immer vollen
> Rang n-m hat. Dann ist M eine m dimensionale diffbare
> Mannigfaltigkeit.
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> Hallo,
>
> also ich prüfe einfach die Voraussetzungen von oben:
>
> M:={ [mm](x_{1},...,x_{n} \in \mathbb{R}^{n}[/mm] : [mm]x_{1}^2[/mm] +
> [mm]x_{2}^4[/mm] +...+ [mm]x_{n}^{n}[/mm] - [mm]\alpha[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 0}
>
> dF = [mm](2x_{1}, 4x_{2}^3[/mm] , .... [mm]2nx_{n}^{2n-1})[/mm] , dF
> verschwindet nur bei [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] = 0 , dies liegt aber
> nicht in M also wird eine n-1 dim. diffbare
> Mannigfaltigkeit festgelegt.
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> Wars das wirklich schon ?
Ja
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> Vielen Dank und lg
>
>
> Peter
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>
>
Liebe Grüße
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