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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mo 17.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Hallo Leute,
wir beschäftigen uns seit kurzem mit Mannigfaltigkeiten. Allerdings kann ich mir darunter einfach nichts vorstellen und somit auch nicht wirklich damit arbeiten.
Wir haben z.B. folgende Übungsaufgabe:
Sei X = {(x,y) [mm] \in \IR²: [/mm] x [mm] \in [/mm] (-1,1) und y=|x|}. Zeigen Sie, dass eine stetig differenzierbarer Homöomorphismus [mm] \alpha: [/mm] (0,1) [mm] \to [/mm] X existiert. Ist X eine eindimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit? Begründen Sie!
In einer anderen Aufgabe muss ich begründen, ob die Einheitssphäre S^(n-1) eine n-1 dimensionale eingebettete Mannigfaltigkeit ist.
Unsere Definitionen lauten wie folgt:
Eine Teilmenge X [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt eingebettete d-dimensionale Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt a [mm] \in [/mm] x eine offene Umgebung U(a) [mm] \subset \IR^n [/mm] gibt, sodass U(a) [mm] \cap [/mm] X eine d-dimensionale parametrisierte Mannigfaltigkeit ist.
Eine Teilmenge X [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt d-dimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit, falls es eine offene Teilmenge V [mm] \subset \IR^d [/mm] und eine homomorphe, reguläre Abbildung [mm] \alpha: [/mm] V [mm] \to [/mm] X gibt.
Kann mir das vllt jemand anschaulich erklären, damit ich die Aufgaben bearbeiten kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
anschaulich ist eine Mf etwas, was lokal "flach" ist, für differenzierbare Mf sind Knicke, Selbstüberschneidungen oder Aehnliches verboten. Dein erstes Beispiel ist also keine differenzierbare Mf, um (0,0) gibt es nämlich keine differenzierbare Karte, die auf eine offene Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] abbildet.
Für die Sphäre kann man dagegen leicht [mm] $2^n$ [/mm] Umf-Karten angeben, die die Mf überdecken (projiziere dazu auf den Schnitt der offenen 1-Kugel und einer Koordinatenebene).
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Was ist eine Karte? Das hatten wir noch nicht.
Ist das quasi das "flache" Teilstück der Mannigfaltigkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mi 19.11.2014 | | Autor: | andyv |
Eine Karte ist eine Abbildung von der Umgebung eines Punktes auf der Mannigfaltigkeit auf eine offene Teilmenge des euklidischen Vektorraums.
Eine Umf-Karte ist ein Diffeomorphismus H von U(a), $a [mm] \in [/mm] X$ nach V, $V [mm] \subset \mathbb{R}^n$ [/mm] offen mit [mm] $H(U(a)\cap X)=(\IR^d \times \{0\})\cap [/mm] V$
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Do 20.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Ich glaube, damit kann ich jetzt gut arbeiten.
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