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| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{16}x^2 [/mm] + 1 im Intervall [mm] (0;\wurzel{32}). [/mm] Berechnen Sie die Mantelfläche des Körpers , der durch Rotation von f um die y- Achse entsteht und skizzieren Sie den Sachverhalt. |
Hallo,
Ich habe zuerst die neuen Integrationsgrenzen ausgerechnet f(0)= 1 und [mm] f(\wurzel{32})= [/mm] 3 und dann die Umkehrfunktion von f(x) erstellt.
[mm] \bruch{1}{16}x^2= [/mm] y-1
[mm] x^2= [/mm] 16y-16 = 16(y-1)
[mm] x=\wurzel{16y-16}=(16y-16)^{1/2}
[/mm]
Ich nenne mal die Umkehrfunktion g(x). Laut Formel brauchen wir die Ableitung von g(x)'und dann das zum Quadrat.
[mm] (g(x)')^2 =(8(16y-16)^{-1/2})^2
[/mm]
= [mm] (\bruch{8}{\wurzel{16y-16}})^2
[/mm]
= [mm] \bruch{64}{(16y-16)}
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
Und jetzt habe ich es eingesetzt.
My= [mm] 2\pi \integral_{1}^{3}{ (\bruch{1}{16}x^2 + 1) *\wurzel{1+\bruch{64}{(16y-16)}} dx}
[/mm]
Wäre das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hab mein Fehler gefunden. Ich müsste für f(x) unten bei der Formel nämlich jetzt auch die neue Gleichung einsetzen g(x). Das würde dann jetzt so aussehen:
My = [mm] 2\pi \integral_{1}^{3}{\wurzel{16y-16} * \wurzel{1+\bruch{64}{(16y-16)}}dx} [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Fr 18.07.2014 | | Autor: | MathePower |
Hallo FaberCastell,
> Hab mein Fehler gefunden. Ich müsste für f(x) unten bei
> der Formel nämlich jetzt auch die neue Gleichung einsetzen
> g(x). Das würde dann jetzt so aussehen:
>
> My = [mm]2\pi \integral_{1}^{3}{\wurzel{16y-16} * \wurzel{1+\bruch{64}{(16y-16)}}dx}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Hallo FaberCastell,
> Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{16}x^2[/mm] + 1 im
> Intervall [mm](0;\wurzel{32}).[/mm] Berechnen Sie die Mantelfläche
> des Körpers , der durch Rotation von f um die y- Achse
> entsteht und skizzieren Sie den Sachverhalt.
> Hallo,
>
> Ich habe zuerst die neuen Integrationsgrenzen ausgerechnet
> f(0)= 1 und [mm]f(\wurzel{32})=[/mm] 3 und dann die Umkehrfunktion
> von f(x) erstellt.
> [mm]\bruch{1}{16}x^2=[/mm] y-1
> [mm]x^2=[/mm] 16y-16 = 16(y-1)
> [mm]x=\wurzel{16y-16}=(16y-16)^{1/2}[/mm]
>
> Ich nenne mal die Umkehrfunktion g(x). Laut Formel brauchen
> wir die Ableitung von g(x)'und dann das zum Quadrat.
> [mm](g(x)')^2 =(8(16y-16)^{-1/2})^2[/mm]
> =
> [mm](\bruch{8}{\wurzel{16y-16}})^2[/mm]
> = [mm]\bruch{64}{(16y-16)}[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin?
Bis hierhin stimmt's.
> Und jetzt habe ich es eingesetzt.
> My= [mm]2\pi \integral_{1}^{3}{ (\bruch{1}{16}x^2 + 1) *\wurzel{1+\bruch{64}{(16y-16)}} dx}[/mm]
>
> Wäre das richtig?
Nein.
Bei Rotation um die y-Achse gilt folgende Formel:
[mm]M_{y}= 2\pi \integral_{a}^{b}{ x *\wurzel{1+\left(x'\right)^{2}} \ dy}[/mm]
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Mantelfläche
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Ist denn das zweite falsch was ich gemacht habe?
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> Gegeben sei die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{16}x^2[/mm] + 1 im
> Intervall [mm](0;\wurzel{32}).[/mm] Berechnen Sie die Mantelfläche
> des Körpers , der durch Rotation von f um die y- Achse
> entsteht
Hallo,
ich möchte nur Folgendes bemerken:
Durch die Rotation des Graphen von f um die y-Achse
entsteht überhaupt kein Körper, sondern nur eben
gerade die Rotationsfläche, die hier als "Mantelfläche"
eines Körpers bezeichnet wird.
Eine korrekte Formulierung der Aufgabenstellung wäre
also:
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rotationsfläche,
welche durch Rotation des Graphen von f um die y-Achse
erzeugt wird.
Mein Wunsch: Weiterleitung an den Aufgabensteller !
Man beachte übrigens noch: nicht die Funktion f, sondern
ihr Graph (ein Kurvenstück in der x-y-Ebene eines x-y-z-
Raums) soll um die y-Achse gedreht werden !
LG , Al-Chwarizmi
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