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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 18.01.2009 | | Autor: | Ansgar |
| Aufgabe | Berechnung der Mantelfläche einer Funktion durch Rotation über die y-Achse.
Die Funktion kann z.B. ein Polynom 8. Grades sein ( y=f(x)= [mm] a*x^{8}+b*x^{7}+...+g*x^{2}+h*x+i [/mm] ). |
Problem ist nun das die Formel für die Mantelfläche bei der Rotation um die y-Achse folgend lautet: [mm] A=2*\pi*\integral_{a}^{b}{x*\wurzel(1-x^{2}) dy}
[/mm]
D.h. man muss die Formel nach x auflösen. Dies ist aber nicht möglich!
Gibt es eine andere Möglichkeit die Mantelfläche zu berechnen?
Beim Volumen z.B. gibt es verschiedene Möglichkeiten ohne die Umkehrfkt.
Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Danke
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Hallo Ansgar,
> Berechnung der Mantelfläche einer Funktion durch Rotation
> über die y-Achse.
> Die Funktion kann z.B. ein Polynom 8. Grades sein (
> y=f(x)= [mm]a*x^{8}+b*x^{7}+...+g*x^{2}+h*x+i[/mm] ).
> Problem ist nun das die Formel für die Mantelfläche bei der
> Rotation um die y-Achse folgend lautet:
> [mm]A=2*\pi*\integral_{a}^{b}{x*\wurzel(1-x^{2}) dy}[/mm]
> D.h. man
> muss die Formel nach x auflösen. Dies ist aber nicht
> möglich!
> Gibt es eine andere Möglichkeit die Mantelfläche zu
> berechnen?
> Beim Volumen z.B. gibt es verschiedene Möglichkeiten ohne
> die Umkehrfkt.
Gegeben hast Du
[mm]y=f\left(x\right)[/mm]
Dann ist
[mm]y'=\bruch{dy}{dx}=f'\left(x) \Rightarrow dy = f'\left(x\right) \ dx[/mm]
Hier brauchst Du dann keine Umkehrfunktion.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
>
> Danke
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Di 20.01.2009 | | Autor: | Ansgar |
Vielen Dank für deine Antwort.
Damit hätte ich also als Mantelflächenformel:
[mm] A=2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{x\cdot{}\wurzel{1-x^{2}} * y' dx}
[/mm]
Hier werden x und [mm] x^{2} [/mm] nun als Konstante angesehen und das jeweilige x eingesetzt, wenn ich das richtig beurteile.
Wo ich mir jetzt noch nicht ganz sicher bin ist die Frage, ob ich nicht die Grenzen auch ändern muss? Diese waren ja vorher die Werte auf der y-Achse. Muss ich hier nun z.B. als x-Werte einerseits x=0 wählen und als zweiten Wert den Schnitt der Fkt. mit der x-Achse?
Währe super wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo Ansgar,
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Damit hätte ich also als Mantelflächenformel:
>
> [mm]A=2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{x\cdot{}\wurzel{1-x^{2}} * y' dx}[/mm]
>
> Hier werden x und [mm]x^{2}[/mm] nun als Konstante angesehen und das
> jeweilige x eingesetzt, wenn ich das richtig beurteile.
>
> Wo ich mir jetzt noch nicht ganz sicher bin ist die Frage,
> ob ich nicht die Grenzen auch ändern muss? Diese waren ja
> vorher die Werte auf der y-Achse. Muss ich hier nun z.B.
> als x-Werte einerseits x=0 wählen und als zweiten Wert den
> Schnitt der Fkt. mit der x-Achse?
Die Grenzen ändern sich natürlich.
Hier gilt:
[mm]a=f\left(x_{0}\right), \ b=f\left(x_{1}\right)[/mm]
beziehungsweise
[mm]x_{0}=f^{-1}\left(a\right), \ x_{1}=f^{-1}\left(b\right)[/mm]
>
> Währe super wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Ansgar |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe.
Du hast mir sehr weiter geholfen.
MFG Ansgar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Di 27.01.2009 | | Autor: | Ansgar |
Da hat sich doch ein Fehler in der Formel für die Mantelfläche eingeschlichen. Es fehlte eine Ableitung von x.
Richtig lautet diese für die Rotation um die y-Achse:
[mm] A=2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{a}^{b}{x\cdot{}\wurzel{1-(x')^{2}} dy}
[/mm]
Problem hier ist die nicht vorhandene Umkehrfunktion x, da man nur y=f(x) hat.
Ansatz weiter oben war nun: Aus y=f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] y' = [mm] \bruch{dy}{dx} \Rightarrow [/mm] dy = y' dx
Eingesetzt: [mm] A=2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{a^{-1}}^{b^{-1}}{x\cdot{}\wurzel{1-(x')^{2}} * y' dx}
[/mm]
Frage ist nun wie man die Ableitung von x berechnet, welche noch benötigt wird?
Kann man hier genauso vorgehen?
Also aus [mm] (x')^{2} \gdw (\bruch{dx}{dy})^{2} \Rightarrow (\bruch{dx}{y' dx})^{2} \Rightarrow (\bruch{1}{y'})^{2}
[/mm]
Als Lösung damit dann:
[mm] A=2\cdot{}\pi\cdot{}\integral_{a^{-1}}^{b^{-1}}{x\cdot{}\wurzel{1-(\bruch{1}{y'})^{2}} * y' dx}
[/mm]
Ich hoffe, dass ich nun nichts mehr übersehen habe und alles stimmt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Di 27.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
stimmt. nimm das y' noch mit unter die Wurzel, dann wirds einfacher.
Gruss leduart
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