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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 20.03.2007 | | Autor: | yogi |
| Aufgabe | Aufgabe 1)
Gegeben sei die Matrix
[mm] P=\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{2} & a }
[/mm]
(a) Man bestimme a so, dass P die Übergangsmatrix einer homogenen Markovkette X mit den Zuständen 0,1,2 ist. Man zeichne das Übergangsdiagramm.
(b) Man bestimme die Zweischrittbergangsmatrix [mm] P^{(2)}. [/mm] Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System nach zwei Zeitschritten in den Zuständen 0,1,2 aufhält, falls zur Anfangszeit T=0 gilt:
[mm] P(X(0)=0)=\bruch{1}{3}, P(X(0)=1)=\bruch{1}{3}, P(X(0)=2)=\bruch{1}{3}.
[/mm]
(c) Man berechne die stationäre Verteilung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu (a):
Ich habe rausbekommen, dass a = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] sein muss, da bei einer homogenen Markov-Kette die Übergangswahrscheinlichkeit in jedem Punkt zu 100% festgelegt sein muss. Stimmt das?
zu (c):
um die stationäre Verteilung zu bestimmen subtrahiere ich zuerst die Einheitsmatrix von P und erhalte:
[mm] P-E=\pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{2} & -\bruch{5}{6} }
[/mm]
nun setze ich jedes Element in der letzten Spalte gleich 1 und erhalte:
[mm] L=\pmat{ -\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} & 1 \\ \bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} & 1 \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{2} & 1 }
[/mm]
mithilfe des Gaußschen Transformationsverfahrens berechne ich nun [mm] L^{-1} [/mm] und erhalte:
[mm] L^{-1}=\pmat{ -1 & \bruch{1}{7} & \bruch{6}{7} \\ 0 & -\bruch{6}{7} & \bruch{6}{7} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{8}{21} & \bruch{2}{7} }
[/mm]
Die stationäre Verteilung ist also gleich der untersten Zeile von [mm] L^{-1}. [/mm] Die stationäre Verteilung ist also [mm] \pmat{\bruch{1}{3} & \bruch{8}{21} & \bruch{2}{7} }
[/mm]
Richtig?
zu (b):
Hier fehlt mir leider so gänzlich der Ansatz. Kann mir jemand sagen, wie ich eine Mehrschrittübergangsmatrix bilde, oder mir eine Quelle nennen, wo dies erklärt wird?
Vielen Dank schonmal für eure Zeit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Mi 21.03.2007 | | Autor: | yogi |
kann mir niemand einen Tipp dazu geben, wie man eine Zweischrittübergangsmatrix berechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Mi 21.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Zweischrittübergansmatrix ist einfach [mm] P^{2} [/mm] wenn P die Einschrittübergangsmatrix ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 21.03.2007 | | Autor: | yogi |
So einfach? Und die Initialwahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt 0 fliesst gar nicht in diese Rechnung mit ein?
edit: in diesem Fall wäre das Ergebnis also
[mm] P^2=\pmat{ \bruch{1}{3} & \bruch{7}{18}&\bruch{5}{18} \\\bruch{1}{3} & \bruch{7}{18}&\bruch{5}{18} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{13}{36}&\bruch{11}{36} }
[/mm]
Was wäre aber wenn die Ausgangswahrscheinlichkeit nicht genau zu [mm] \bruch{1}{3} [/mm] auf alle 3 Punkte verteilt gewesen wäre?
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ups muss wohl aus versehen auf Senden statt auf Vorschau gekommen sein, SORRY.
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Deine [mm] P^{2} [/mm] ist meiner Meinung nach richtig.
und jetzt muss man dann noch die Wahrscheinlichkeiten für die Frage
...zwei Zeitschritten in den Zuständen 0,1,2 aufhält ... beantworten.
Dazu muss man glaube ich für den Zustand 0:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] * P(x=0)=0 + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * P(x=0)=1 + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * P(x=0)=2
also [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
Also ist die Wk dafür in 2 Schritten in den Zustand 0 zu kommen = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
analog Zustand 1:
[mm] \bruch{7}{18} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{7}{18} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{13}{36} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{41}{108} [/mm]
analog Zustand 2:
[mm] \bruch{5}{18} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{18} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{11}{36} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{31}{108} [/mm]
Ich hoffe jemand kann diese Rechnung bestätigen, da ich mir auch nicht 100% sicher bin.
Deshalb gebe ich erstmal den Status fehlerhaft für die Antwort.
Gruß Jack
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Do 22.03.2007 | | Autor: | yogi |
Klingt zumindest logisch! Ist da jetzt noch was falsch (ich frage nur, weil es von jemandem als falsch markiert worden ist)?
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Also ich habe a und c genauso gemacht hoffe mal das es dann auch stimmt.
für Teil b muss man glaube die Matrix mit sich selbst malnehmen. Matrixmultiplikation. oder?
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