Markov-Matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Di 12.01.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Jedes Jahr werden 2% der jungen Leute alt und sterben 3% der alten Leute. Es gibt keine Geburten.
Stellen Sie eine geeignete Markov-Matrix auf und geben Sie ihren stationären Zustand an. |
Hallo,
ich wollte nun die entsprechende Markov-Matrix aufstellen, hierbei habe ich aber ein Problem. Ich habe ja drei verschiedene Zustände (jung, alt, sterben)
Ich geben diesen Nummern: jung (1), alt (2) und sterben (3)
Somit bleiben 0,98 jung und 0,02 werden alt, zudem bleiben 0,97 alt und 0,03 sterben
Bisher habe ich folgende Markov-Matrix:
[mm] \begin{bmatrix} 0,98 & 0 & 0 \\ 0,02 & 0,97 & 0 \\ 0 & 0,03 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Kann aber nicht stimmen, da die letzte Spaltensumme nicht Eins ist.
Von Zustand 2 nach 1 geht ja nichts, auch von Zustand 3 gehts nichts zu 1 und 2.
Wo liegt mein Denkfehler?
Gruß
itse
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> Jedes Jahr werden 2% der jungen Leute alt und sterben 3%
> der alten Leute. Es gibt keine Geburten.
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> Stellen Sie eine geeignete Markov-Matrix auf und geben Sie
> ihren stationären Zustand an.
> Hallo,
>
> ich wollte nun die entsprechende Markov-Matrix aufstellen,
> hierbei habe ich aber ein Problem. Ich habe ja drei
> verschiedene Zustände (jung, alt, sterben)
>
> Ich geben diesen Nummern: jung (1), alt (2) und sterben
> (3)
>
> Somit bleiben 0,98 jung und 0,02 werden alt, zudem bleiben
> 0,97 alt und 0,03 sterben
>
> Bisher habe ich folgende Markov-Matrix:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 0,98 & 0 & 0 \\ 0,02 & 0,97 & 0 \\ 0 & 0,03 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Kann aber nicht stimmen, da die letzte Spaltensumme nicht
> Eins ist.
>
> Von Zustand 2 nach 1 geht ja nichts, auch von Zustand 3
> gehts nichts zu 1 und 2.
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Hallo,
Dein Fehler:
die Leutchen in Deinem Beispiel können drei Eigenschaften haben
jung, alt oder tot.
"sterben" ist keine Eigenschaft, und wer sterbend ist, der lebt ja noch, ist in "Deiner Welt" also alt, und wer schon gestorben ist, ist (logo!) tot.
Zu den Toten des Vorjahres gesellen sich also immer 3% der Alten des Vorjahres.
Damit sollte Deine Matrix stehen.
Den stationären Zustand kannst Du nach allen Regeln der Kunst dann ausrechnen - mit meinem Hausfrauenverstand krieg ich das allerdings auch ohne Matrix hin.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 12.01.2010 | | Autor: | itse |
Guten Abend,
meine Matrix sieht nun so aus:
A = [mm] \begin{bmatrix} 0,98 & 0 & 0 \\ 0,02 & 0,97 & 0 \\ 0 & 0,03 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Es hat sich nur der letzte Wert geändert in der dritten Spalte, da sich beim Zustand 3 (tot) alles vorhanden bleibt.
Die Eigenwerte kann man nun direkt ablesen: [mm] \lambda_1 [/mm] = 1, [mm] \lambda_2 [/mm] = 0,97 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 0,98
Bei Bestimmung des stationären Zustandes werden die Eigenwerte [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] zu Null, somit muss ich nur noch den Eigenwert [mm] x_1 [/mm] bestimmen, der zugleich der stationäre Zustand der Matrix ist.
(A - 1 [mm] \cdot{} I)x_1 [/mm] = 0
[mm] \begin{bmatrix} -0,02 & 0 & 0 \\ 0,02 & -0,03 & 0 \\ 0 & 0,03 & 0 \end{bmatrix} x_1 [/mm] = 0
daraus ergibt sich dann [mm] x_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Dies müsste doch stimmen?
Mit der Zeit werden alle jungen Leute alt und diese sterben dann und es gibt keine Geburten. Somit ist der Anfangswert, Verteilung junge, alte und tote Personen egal.
Ansonsten finde ich die Aufgabestellung etwas merkwürdig.
Gruß
itse
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> Guten Abend,
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> meine Matrix sieht nun so aus:
>
> A = [mm]\begin{bmatrix} 0,98 & 0 & 0 \\ 0,02 & 0,97 & 0 \\ 0 & 0,03 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Es hat sich nur der letzte Wert geändert in der dritten
> Spalte, da sich beim Zustand 3 (tot) alles vorhanden
> bleibt.
>
> Die Eigenwerte kann man nun direkt ablesen: [mm]\lambda_1[/mm] = 1,
> [mm]\lambda_2[/mm] = 0,97 und [mm]\lambda_3[/mm] = 0,98
>
> Bei Bestimmung des stationären Zustandes werden die
> Eigenwerte [mm]\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] zu Null, somit muss ich
> nur noch den Eigenwert [mm]x_1[/mm] bestimmen, der zugleich der
> stationäre Zustand der Matrix ist.
>
> (A - 1 [mm]\cdot{} I)x_1[/mm] = 0
>
> [mm]\begin{bmatrix} -0,02 & 0 & 0 \\ 0,02 & -0,03 & 0 \\ 0 & 0,03 & 0 \end{bmatrix} x_1[/mm]
> = 0
>
> daraus ergibt sich dann [mm]x_1[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Dies müsste doch stimmen?
>
> Mit der Zeit werden alle jungen Leute alt und diese sterben
> dann und es gibt keine Geburten. Somit ist der Anfangswert,
> Verteilung junge, alte und tote Personen egal.
>
> Ansonsten finde ich die Aufgabestellung etwas merkwürdig.
Hallo,
gewohnt merkwürdig...
Deine Matrix ist jetzt richtig, den Eigenvektor hast Du ebenfalls richtig bestimmt.
Den stationären Zustand hat man also, wenn alle tot sind. Welch Wunder.
Gruß v. Angela
>
> Gruß
> itse
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