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| Aufgabe | Diagramm http://i52.tinypic.com/2yzla3c.jpg beschreibt eine Markovkette [mm] (X_n)_{n\ge0} [/mm] mit Zustandsraum S={0,1,2,3}. Dabei ist 0 < p < 1.
a)Geben Sie die entsprechnede Übergangsmatrix P an.
b) Geben Sie die Verteilung von [mm] X_2 [/mm] unter [mm] \IP_{0}[X_2=k] [/mm] , d-h berechnen Sie [mm] \IP_{0}[X_2=k] [/mm] für alle k [mm] \in [/mm] S.
c)Sei H=inf{n [mm] \ge [/mm] 0: [mm] X_n \in [/mm] {0,2}}. Berechnen Sie [mm] \IP_{i}[H \le \infty [/mm] ] für i [mm] \in [/mm] S. |
Also was ich bisjetzt habe: [mm] \
[/mm]
[mm] a)\pmat{ 0 & 1 & 0 & 1-p \\ 1-p & 0 & p & 0 \\ 0 & 1-p & 0 & p\\ p & 0 & 1-p & 0 }
[/mm]
b) Ich weiß leider nicht was [mm] \IP_{0}, [/mm] also was der 0er hier für eine Bedeutung hat.
Und in der Form hatten wir das auch noch nie, sondern immer mit einer Tabelle wo man die Werte ablesen könnte.
Das Problem ist, dass es zu dieser Vo kein Skript gab, in der VO und Ue haben wir sowas aber auch nicht behandelt (altes Prüfungsbeispiel).
und bei c habe ich leider gar keine Ahnung
Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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Hallo,
> Diagramm http://i52.tinypic.com/2yzla3c.jpg beschreibt eine
> Markovkette [mm] (X_n)_{n\ge0} [/mm] mit Zustandsraum S={0,1,2,3}.
> Dabei ist 0 < p < 1.
>
> a)Geben Sie die entsprechnede Übergangsmatrix P an.
> b) Geben Sie die Verteilung von [mm] X_2 [/mm] unter [mm] \IP_{0}[X_2=k], [/mm]
> d-h berechnen Sie [mm] \IP_{0}[X_2=k] [/mm] für alle [mm] k\in [/mm] S.
> c)Sei H=inf{n [mm] \ge [/mm] 0: [mm] X_n \in [/mm] {0,2}}. Berechnen Sie
> [mm] \IP_{i}[H \le \infty [/mm] ] für i [mm] \in [/mm] S.
> Also was ich bisjetzt habe: [mm]\[/mm]
>
> [mm]a)\pmat{ 0 & 1 & 0 & 1-p \\
1-p & 0 & p & 0 \\
0 & 1-p & 0 & p\\
p & 0 & 1-p & 0 }[/mm]
Sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Ich weiß leider nicht was [mm]\IP_{0},[/mm] also was der 0er
> hier für eine Bedeutung hat.
[mm] $\IP_0$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der davon ausgegangen wird, dass [mm] $X_0 [/mm] = 0$ ist.
Das heißt du musst bei deiner Kalkulation davon ausgehen, dass du mit Wahrscheinlichkeit 1 beim Punkt [mm] $0\in [/mm] S$ startest.
> Und in der Form hatten wir das auch noch nie, sondern immer
> mit einer Tabelle wo man die Werte ablesen könnte.
> Das Problem ist, dass es zu dieser Vo kein Skript gab, in
> der VO und Ue haben wir sowas aber auch nicht behandelt
> (altes Prüfungsbeispiel).
Ich weiß leider nicht, was für eine Tabelle du meinst.
> und bei c habe ich leider gar keine Ahnung
> Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar.
$H$ bezeichnet den ersten Zeitpunkt (Index n), bei welchem [mm] $X_n$ [/mm] entweder bei 0 oder bei 2 ankommt.
Du sollst nun überprüfen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass [mm] $H\le \infty$ [/mm] ist, d.h. dass du irgendwann (zu einem festen Zeitpunkt) mal bei 0 oder 2 ankommst. (Eventuell ist es für die Berechnung sinnvoller, das Gegenereignis zu untersuchen: [mm] $H=\infty$ [/mm] bedeutet, man kommt NIE bei 0 oder 2 an).
Du sollst diese Wahrscheinlichkeit berechnen unter den 4 Maßen [mm] $\IP_0,...,\IP_3$. [/mm] D.h. du sollst bei deiner Kalkulation einmal davon ausgehen, dass du sicher in 0 startest, einmal, dass du sicher in 1 startest usw.
Für [mm] $\IP_0, \IP_2$ [/mm] ist die Berechnung daher trivial!
Für die anderen hast du zwei Möglichkeiten:
a) Du probierst ein bisschen rum (vielleicht führt das zum Ziel)
b) Du berechnest stringent die Wahrscheinlichkeit (i = 1,3)
[mm] $\IP_i(H [/mm] = [mm] \infty) [/mm] = [mm] \IP_i(\forall [/mm] n [mm] \in \IN: X_n \in \{1,3\})$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Lieber Stefan erstmal vielen Dank für deine Ausführungen.
also nochmal zu b) Formel die ich in meinen Unterlagen gefunden habe ist folgende
[mm] \IP_i[X_{n+1} [/mm] = j| [mm] X_0= i_0,..X_n [/mm] = [mm] i_n] [/mm] bringt mich die weiter?
zu c) Wie genau berechne ich denn [mm] \IP_i(\vee [/mm] n [mm] \in \IN: X_n \in [/mm] {1,3}) Gibt es dafür auch eine Formel?
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Hallo,
> Lieber Stefan erstmal vielen Dank für deine
> Ausführungen.
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> also nochmal zu b) Formel die ich in meinen Unterlagen
> gefunden habe ist folgende
> [mm]\IP_i[X_{n+1}[/mm] = j| [mm]X_0= i_0,..X_n[/mm] = [mm]i_n][/mm] bringt mich die
> weiter?
Nein, die alleine bringt dich noch nicht weiter.
Die Formel soll ja vermutlich nur der Anfang einer größeren Formel sein, die zeigt, dass Markovketten gedächtnislos sind ("Die Markov-Eigenschaft besitzen).
Schau mal hier: ![[]](/images/popup.gif) WIKI
Da wird gezeigt, wie man [mm] $P(X_2 [/mm] = [mm] k|X_0 [/mm] = 0)$ ausrechnen kann.
Du kannst dir diese Formel auch logisch überlegen.
Für die Anwendung reicht es zu wissen, dass du jetzt einfach die Matrix $P$ aus a) nehmen musst, und [mm] $P^2$ [/mm] berechnen. Das Element [mm] $(P^2)_{0k}$ [/mm] liefert die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.
> zu c) Wie genau berechne ich denn [mm]\IP_i(\vee[/mm] n [mm]\in \IN: X_n \in[/mm]
> {1,3}) Gibt es dafür auch eine Formel?
Ich kenne keine pauschale Formel, die man direkt da anwenden könnte.
Das Themengebiet der Aufgabe streift das Thema "Rekurrenz und Transienz", hattet ihr das schon?
Das brauchst du hier aber alles nicht, weil das relativ leicht zu berechnen ist. Stell dir vor, du startest in [mm] $X_0 [/mm] = 1$. Gibt es dann überhaupt eine Möglichkeit, NICHT im nächsten Schritt bei 0 oder 2 zu landen?
Viele Grüße,
Stefan
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zu b) also einfach das Matrixprodukt P*P berechnen und dann auf die Indizes schauen? Vielen Dank, das hilft mir sehr!
zu c)
also ich habe mir das mit Hilfe des Diagramms überlegt, wenn ich bei 1 oder 3 Starte komme ich ja immer zu 0 oder 2, dh es gibt keine andere Möglichkeit. richtig? Nur was bedeutet das jetzt konkret für die [mm] \IP_i? [/mm] wie kann ich mir die jetzt berechnen?
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Hallo,
> zu b) also einfach das Matrixprodukt P*P berechnen und dann
> auf die Indizes schauen?
Ja.
> zu c)
> also ich habe mir das mit Hilfe des Diagramms überlegt,
> wenn ich bei 1 oder 3 Starte komme ich ja immer zu 0 oder
> 2, dh es gibt keine andere Möglichkeit. richtig?
Ja.
> Nur was
> bedeutet das jetzt konkret für die [mm]\IP_i?[/mm] wie kann ich mir
> die jetzt berechnen?
Ich habe gerade nochmal auf die Aufgabe geschaut und hoffe, dass man [mm] $P_i(H [/mm] < [mm] \infty)$ [/mm] berechnen soll undn icht [mm] $P_i(H \le \infty)$. [/mm] Denn letzteres wäre auf jeden Fall = 1.
Also berechnen wir [mm] $P_i(H [/mm] < [mm] \infty)$.
[/mm]
Unter [mm] $P_0$ [/mm] gilt [mm] $X_0 [/mm] = 0$ und somit H = 0. Also ist sicher $H < [mm] \infty$, [/mm] $d.h. [mm] P_0(H [/mm] < [mm] \infty) [/mm] = 1$.
Analog für [mm] $P_2$.
[/mm]
Unter [mm] $P_1$ [/mm] gilt [mm] $X_0 [/mm] = 1$. Es ist dann, wie du schon herausgefunden hast, [mm] $P_1(X_1 \in \{0,2\}) [/mm] = 1$. Also:
[mm] $P_1(H [/mm] < [mm] \infty) \ge P_1(H [/mm] = 1) = [mm] P_1(X_0 \in \{1,3\} \mbox{ und } X_1 \in \{0,2\}) [/mm] = 1$.
[mm] $P_1(H [/mm] < [mm] \infty) [/mm] = 1.
In ALLEN Fällen gilt also [mm] $P_i(H [/mm] < [mm] \infty) [/mm] = 1$.
Viele Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | | d) Berechne [mm] E_i[H] [/mm] = i [mm] \in [/mm] S |
Erstmal, Vielen Vielen Dank für deine bisherige Hilfe. :)
Es gab noch den Punkt d) Wie berechne mir jetzt konkret den Erwartungswert, geht das bei der Berechnung irgendwie ein dass
[mm] \IP_i[H [/mm] < [mm] \infty] [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] S?
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Hallo,
> d) Berechne [mm]E_i[H][/mm] , i [mm]\in[/mm] S
> Es gab noch den Punkt d) Wie berechne mir jetzt konkret den
> Erwartungswert, geht das bei der Berechnung irgendwie ein
> dass
> [mm]\IP_i[H[/mm] < [mm]\infty][/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] S?
Naja, nur am Rande. Wäre [mm] $P_i(H [/mm] < [mm] \infty) [/mm] < 1$, wäre [mm] $E_i[H] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] (ist dir klar warum?)
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Allgemeine Formel für Berechung des Erwartungswerts: [mm] $E_i[H] [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k*P_i(H [/mm] = k)$.
Fang doch mal mit [mm] $E_0[H]$ [/mm] an. Was ist da [mm] $P_0(H [/mm] = 0)$, [mm] $P_0(H [/mm] = 1)$, usw. (Nutze Def. von H).
Viele Grüße,
Stefan
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also H war ja definiert als H=inf{n [mm] \ge [/mm] 0: [mm] X_n \in [/mm] {0,2}} und beispielsweise H=0 würde ja heißen, dass das Infimum von den Indizes n = 0 ist, also [mm] X_0 \in [/mm] {0,2}, oder? also berechne ich mir dann [mm] \IP_0[X_0 [/mm] = k] ? oder bin ich gerade ganz falsch?
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Hallo,
> also H war ja definiert als H=inf{n [mm] \ge [/mm] 0: [mm] X_n \in [/mm] {0,2}}
> und beispielsweise H=0 würde ja heißen, dass das Infimum
> von den Indizes n = 0 ist, also [mm] X_0 \in [/mm] {0,2}, oder?
Ja.
> also
> berechne ich mir dann [mm]\IP_0[X_0[/mm] = k] ? oder bin ich gerade
> ganz falsch?
Das bringt noch nicht so viel für die Lösung.
Es ist
[mm] $E_0[H] [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k\cdot{}P_0(H [/mm] = k)$.
Du hast schon festgestellt: Wenn [mm] $X_0 [/mm] = 0$, ist $H = 0$. Also [mm] $P_0(H=0) [/mm] = 1$, und [mm] $P_0(H [/mm] = k) = 0$ für k [mm] \ge [/mm] 1. Entsprechend
[mm] $E_0[H] [/mm] = [mm] 0\cdot{}P_0(H [/mm] = 0) = 0$.
(Mach dir klar, dass das "logisch" ist. Wenn ich in 0 startet und H der erste Index ist, bei welchem man bei 0 ankommt, dann "erwarte" ich natürlich H = 0).
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[mm] $E_1[H]$ [/mm] ist etwas schwieriger, aber auch nicht viel.
[mm] $E_1[H] [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k\cdot{}P_1(H [/mm] = k)$.
Wir wissen schon: [mm] $X_0 [/mm] = 1$ --> Mit Wahrscheinlichkeit 1 gilt $H [mm] \not= [/mm] 0$ und $H = 1$ (siehe c)). Kannst du damit den Erwartungswert oben ausrechnen?
Viele Grüße,
Stefan
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