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Sei [mm] (X_{n})n\in \IN [/mm] eine Markovkette auf dem Zustandsraum S={1,2,3,4} und mit der Ubergangsmatrix
[mm] P=\pmat{0 & 0.2 & 0.4 & 0.4\\0.5 & 0.5 & 0 & 0\\0.4 & 0.4 & 0 & 0.2\\0.5 & 0.3 & 0.2 & 0}
[/mm]
Zeige,dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \IP(X_{n}=x) [/mm] existiert und berechne diesen Wert fur jedes [mm] x\in [/mm] S
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Würde mich sehr über Hilfe freuen!
Beste Grüße,Johanna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Fr 27.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi
ich denke es geht darum, ausgehend von einem beliebigen Anfangszustand, den stationären Zustand auszurechnen. Der Anfangszustand ist gegeben durch
[mm] p_0=\left[\IP\left(X_0=s_1\right), \IP\left(X_0=s_2\right), \IP\left(X_0=s_3\right), \IP\left(X_0=s_4\right)\right]
[/mm]
mit
(1) [mm] \summe_{i=1}^{4}\IP\left(X_0=s_i\right)=1 [/mm] da es ja nur 4 Zustände gibt.
[mm] p_n [/mm] errechnet man wie folgt
[mm] p_n=p_0*P^n
[/mm]
Jetzt muss man also [mm] P^n [/mm] ausrechnen. Dann ergibt sich
[mm] p_n=\left[ \summe_{i=1}^{4}(p_0)_{i}P_{i,1} , \summe_{i=1}^{4}(p_0)_{i}P_{i,2} , \summe_{i=1}^{4}(p_0)_{i}P_{i,3} , \summe_{i=1}^{4}(p_0)_{i}P_{i,4} \right]
[/mm]
Jetzt sind die [mm] P_{i,j} [/mm] für i=1,...,4 und festes j aber alle gleich und wegen (1) folgt also
[mm] p_n=\left[(P^n)_{1,1}, (P^n)_{1,2}, (P^n)_{1,3}, (P^n)_{1,4} \right]
[/mm]
Nun noch den Grenzübergang [mm] n\to\infty [/mm] durchführen und Du bist fertig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Johanna728 |
Ah,ich verstehe!!Danke sehr fur deine Hilfe!!
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