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Hallo!
Hänge mal wieder an 2 Stochastik Aufgaben und habe diesmal gar keine Ahnung davon:
Aufgabe 1
Ein Würfel wird wiederholt geworfen. Welche Fälle sind Markovketten?
a) Die größte Augenzahl [mm] X_{n}, n\ge [/mm] 0, bis zum n-ten Wurf mit [mm] X_{0}:=0.
[/mm]
b) Die Anzahl [mm] N_{n}, n\ge [/mm] 0, der Sechsen in n Würfen mit [mm] N_{0}:=0.
[/mm]
c) Die Zeit [mm] B_{n}, n\ge [/mm] 0, die zum Zeitpunkt n seit dem letzten Wurf einer 6 vergangen ist mit [mm] B_{0}:=0.
[/mm]
d) Die Zeit [mm] C_{n}, n\ge [/mm] 0, die zwischen n und dem Zeitpunkt der nächsten 6 vergeht mit [mm] C_{0}:=0.
[/mm]
(in den Fällen, in denen Markovketten vorliegen, soll man die Übergangsmatrix angeben)
Aufgabe 2
Es seien [mm] p_{1}, p_{2}, p_{3}\in [/mm] [0,1] mit [mm] p_{1}+p_{2}+p_{3}=1 [/mm] und [mm] \produkt :=\bruch{1}{6} \pmat{ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 }.
[/mm]
Ferner sei [mm] (X_{n})_{n\in \IN} [/mm] die zur Startverteilung [mm] \pi [/mm] = [mm] (p_{1}, p_{2}, p_{3}) [/mm] und zur Übergangsmatrix [mm] \produkt [/mm] gerhörende Markovkette mit Zustandsraum E:= {1,2,3}.
a) Zeige: [mm] (\produkt)^{n}=\bruch{1}{7} \pmat{ 0 & 4-18(- \bruch{1}{6})^{n} & 3+18(- \bruch{1}{6})^{n} \\ 0 & 4+3(- \bruch{1}{6})^{n} & 3-3(- \bruch{1}{6})^{n} \\ 0 & 4-4(- \bruch{1}{6})^{n} & 3+4(- \bruch{1}{6})^{n} } [/mm] und best. [mm] (\produkt)^{\infty}:= \limes_{n\rightarrow\infty} (\produkt)^{n}.
[/mm]
b) Für [mm] \pi _{\infty}:= \bruch{1}{7}(0,4,3) [/mm] folgere man, dass [mm] \pi _{\infty}= \pi_{0} (\produkt)^{\infty} [/mm] für jede Startverteilung [mm] \pi_{0} [/mm] gilt. Wie lässt sich [mm] \pi _{\infty} [/mm] interpretieren?
Ich habe wirklich gar keine Ahnung davon & komme auch nicht mit dem zurecht, was ich darüber in Büchern finde.
Kann mir jemand von Euch helfen?
VlG
Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Mario!
> a) Die größte Augenzahl [mm]X_{n}, n\ge[/mm] 0, bis zum n-ten Wurf
> mit [mm]X_{0}:=0.
[/mm]
Dies eine Markovkette, da der Ausgang von [mm] $X_n$ [/mm] nur von [mm] $X_{n-1}$ [/mm] abhängt.
Versuche mal zu verstehen, warum die Übergangsmatrix so aussieht:
[mm] $\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
> b) Die Anzahl [mm]N_{n}, n\ge[/mm] 0, der Sechsen in n Würfen mit
> [mm]N_{0}:=0.
[/mm]
Auch dies ist eine Markovkette. Ist der Eriegnisraum $E= [mm] \IZ_+$, [/mm] so lautet die Übergangsmatrix
[mm] $\Pi(i,i) [/mm] = [mm] \frac{5}{6}$ [/mm] , [mm] $\Pi(i,i+1)=\frac{1}{6}$.
[/mm]
> c) Die Zeit [mm]B_{n}, n\ge[/mm] 0, die zum Zeitpunkt n seit dem
> letzten Wurf einer 6 vergangen ist mit [mm]B_{0}:=0.
[/mm]
Auch dies ist eine Markovkette. Versuche mal selber die Übergangsmatrix aufzustellen, indem du dir meine Lösungen von oben (die du zunächst nachvollziehen solltest) als Vorbild nimmst. 
> d) Die Zeit [mm]C_{n}, n\ge[/mm] 0, die zwischen n und dem
> Zeitpunkt der nächsten 6 vergeht mit [mm]C_{0}:=0.
[/mm]
Nein, dies ist keine Markovkette, da eine solche "nicht in die Zukunft schauen kann".
> Aufgabe 2
>
> Es seien [mm]p_{1}, p_{2}, p_{3}\in[/mm] [0,1] mit
> [mm]p_{1}+p_{2}+p_{3}=1[/mm] und [mm]\produkt :=\bruch{1}{6} \pmat{ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 }.
[/mm]
>
>
> Ferner sei [mm](X_{n})_{n\in \IN}[/mm] die zur Startverteilung [mm]\pi[/mm] =
> [mm](p_{1}, p_{2}, p_{3})[/mm] und zur Übergangsmatrix [mm]\produkt[/mm]
> gerhörende Markovkette mit Zustandsraum E:= {1,2,3}.
>
> a) Zeige: [mm](\produkt)^{n}=\bruch{1}{7} \pmat{ 0 & 4-18(- \bruch{1}{6})^{n} & 3+18(- \bruch{1}{6})^{n} \\ 0 & 4+3(- \bruch{1}{6})^{n} & 3-3(- \bruch{1}{6})^{n} \\ 0 & 4-4(- \bruch{1}{6})^{n} & 3+4(- \bruch{1}{6})^{n} }[/mm]
> und best. [mm](\produkt)^{\infty}:= \limes_{n\rightarrow\infty} (\produkt)^{n}.
[/mm]
Mit vollständiger Induktion steht die Lösung sofort da. Und dann noch den Grenzübergang komponentenweise vollziehen, das ist einfach. Versuche es bitte mal.
> b) Für [mm]\pi _{\infty}:= \bruch{1}{7}(0,4,3)[/mm] folgere man,
> dass [mm]\pi _{\infty}= \pi_{0} (\produkt)^{\infty}[/mm] für jede
> Startverteilung [mm]\pi_{0}[/mm] gilt. Wie lässt sich [mm]\pi _{\infty}[/mm]
> interpretieren?
Zum ersten Teil: Einfach ausrechnen:
[mm] $\begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 \end{pmatrix} \cdot \left[ \frac{1}{7} \pmat{ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 4 & 3} \right]$
[/mm]
Huups, jetzt habe ich ja den zweiten Teil der a) verraten. 
Zum zweiten Teil der Frage: [mm] $\pi_{\infty}$ [/mm] lässt sich als Grenzverteilung interpretieren. Wie ist die Verteilung "nach langer Zeit"? Approximativ gleich [mm] $\pi_{\infty}$...
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Di 01.02.2005 | | Autor: | adonis1981 |
Danke für Deine Hilfe!
Konnte alles super nachvollziehen!
Vielen, vielen Dank!
VlG
Mario
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