Markovkette / zeitumkehrbar < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Melde mich heute mal wieder bei euch, weil ich dringend Punkte in Wahrscheinlichkeitstheorie braucht und deshalb wissen will, ob meine Lösung korrekt ist. Danke für Euer Interesse!
Die Aufgabe ist die Folgende:
Sei [mm] $\left( X_n \right)$ [/mm] eine homogene Markovkette mit Übergangsmatrix P.
i) Man berechne die Matrix $P'$, gegeben duch $p'_{i,j} := [mm] P[X_{n-1} [/mm] = j | [mm] X_n [/mm] = i]$.
ii) Sei nun der Zustandsraum der Markovkette [mm] $\IZ$. $\left( X_n \right)$ [/mm] heißt zeitumkehrbar, falls [mm] $\left( X_n \right)$ [/mm] und [mm]\left( Y_n \right)[/mm], gegeben durch [mm] $\left( Y_n \right) [/mm] := [mm] \left( X_{-n} \right)$ [/mm] dieselbe Verteilung haben. Wie läßt sich diese Eigenschaft durch Übergangsmatrix und Anfangsverteilung charakterisieren?
Also bei der ersten habe ich Folgendes gemacht: Gesucht ist ja in Worten ausgedrückt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ich mich zur Zeit n-1 im Ustand j befunden habe, wenn ich jetzt (Zeit n) im Zustand j bin.
Ich habe jetzt die Matrix P transponiert und würde dann die einträge durch die Summe der Zele dividieren. Warum? Nun in heder Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten von den verschiedenen Zuständen i nach j. Da diese i.A. in der Summe nicht 1 sind muss ich die ja irgendwie gewichten. Also habe ich alle summiert und dann mit dem Wert ins Verhältnis gesetzt damit in der Summe wieder 1 herauskommt. (Insbesondere wird dann für den Fall, dass nur wesentliche Zustände auftreten $P'$ wieder eine stochastische Matrix)
Ist das so korrekt oder würdet ihr anders vorgehen?
zu ii) fehlt mir irgendwie noch ein Ansatz :-( Es muss ja irgendwie symmetrisch sein, also irgendwie muss ja gelten [mm] P[X_n = i | X_{n-1} = j] = P[Y_n = i | Y_{n-1} = j]= P[X_n = -i | X_{n-1} = -j] [/mm] oder?
Danke für eure Hilfe
Gruß Micha
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Lieber Micha!
> i) Man berechne die Matrix [mm]P'[/mm], gegeben duch [mm]p'_{i,j} := P[X_{n-1} = j | X_n = i][/mm].
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> ii) Sei nun der Zustandsraum der Markovkette [mm]\IZ[/mm]. [mm]\left( X_n \right)[/mm]
> heißt zeitumkehrbar, falls [mm]\left( X_n \right)[/mm] und [mm]\left( Y_n \right)[/mm],
> gegeben durch [mm]\left( Y_n \right) := \left( X_{-n} \right)[/mm]
> dieselbe Verteilung haben. Wie läßt sich diese Eigenschaft
> durch Übergangsmatrix und Anfangsverteilung
> charakterisieren?
>
> Ich habe jetzt die Matrix P transponiert und würde dann die
> einträge durch die Summe der Zele dividieren. Warum? Nun in
> heder Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten von
> den verschiedenen Zuständen i nach j. Da diese i.A. in der
> Summe nicht 1 sind muss ich die ja irgendwie gewichten.
> Also habe ich alle summiert und dann mit dem Wert ins
> Verhältnis gesetzt damit in der Summe wieder 1 herauskommt.
> (Insbesondere wird dann für den Fall, dass nur wesentliche
> Zustände auftreten [mm]P'[/mm] wieder eine stochastische Matrix)
>
> Ist das so korrekt oder würdet ihr anders vorgehen?
Ich würde mit der Formel von Bayes arbeiten:
[mm] $P[X_{n-1} [/mm] = j | [mm] X_n [/mm] = [mm] i]=\frac{P[X_n = i | X_{n-1} = j]\cdot P[X_{n-1} = j]}{P[X_n=i]} [/mm] $
Ich glaube nicht, dass das exakt Deiner Vorgehensweise entspricht, denn Du müsstest Dir ja über die Randverteilung Gedanken machen, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man sich im $n$-ten (bzw. $n-1$-ten) Schritt in Zustand i (bzw. j) befindet. Das hängt von der Anfangsverteilung ab, und die taucht in Deiner Überlegung ja noch gar nicht auf. Die Randverteilung im $n$-ten Schritt bekommst Du ja dann durch n-faches Dranmultiplizieren der Matrix P.
> zu ii) fehlt mir irgendwie noch ein Ansatz :-( Es muss ja
> irgendwie symmetrisch sein, also irgendwie muss ja gelten
> [mm]P[X_n = i | X_{n-1} = j] = P[Y_n = i | Y_{n-1} = j]= P[X_n = -i | X_{n-1} = -j][/mm]
> oder?
Hm, nicht ganz. Ich denke, hier geht es schon um die Randverteilung, nicht um die bedingte Verteilung. Es muss gelten für alle [mm] $i\in \IZ$:
[/mm]
[mm]P[X_n = i ] = P[X_{-n} = i ][/mm]
Ich verstehe aber nicht, warum gerade der Zustandsraum [mm] $\IZ$ [/mm] sein soll. Wichtiger wäre doch, dass der Zeitindex eine ganze Zahl ist. Also hier stimmt noch irgendwas nicht, oder?
Liebe Grüße
Brigitte
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