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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:08 Mo 29.08.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Skizzieren Sie für jede der Matrizen die zugehörigen Markov-Graphen und bestimmen Sie sämtliche stationären Verteilungen.
a) [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0} [/mm] b) [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ 1 & 0& 0 \\ 0 &1 & 0}
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 0& 0&1 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{3}\\ 1 & 0& 0 } [/mm] d) [mm] \pmat{ \bruch{3}{4} & 0 & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] |
Hallo ich bin mir nicht sicher ob meine Ergebnisse richtig sind. Ich habe die Stationären Verteilungen versucht rechnerisch über das Gleichungssystem zu lösen.
a) [mm] (\bruch{1}{3},\bruch{1}{3},\bruch{1}{3})
[/mm]
b) [mm] (\bruch{3}{8},\bruch{3}{8},\bruch{6}{24})
[/mm]
c) [mm] (\bruch{1+x_2}{2},0,\bruch{1+x_2}{2})
[/mm]
d) [mm] (4x_3,0,\bruch{1}{4}x_1)
[/mm]
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> Skizzieren Sie für jede der Matrizen die zugehörigen
> Markov-Graphen und bestimmen Sie sämtliche stationären
> Verteilungen.
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> a) [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0&1&0}[/mm] b) [mm]\pmat{ 0 & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ 1 & 0& 0 \\ 0 &1 & 0}[/mm]
>
> c) [mm]\pmat{ 0& 0&1 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} & \bruch{1}{3}\\ 1 & 0& 0 }[/mm]
> d) [mm]\pmat{ \bruch{3}{4} & 0 & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{6} \\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
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> Hallo ich bin mir nicht sicher ob meine Ergebnisse richtig
> sind. Ich habe die Stationären Verteilungen versucht
> rechnerisch über das Gleichungssystem zu lösen.
>
> a) [mm](\bruch{1}{3},\bruch{1}{3},\bruch{1}{3})[/mm]
> b) [mm](\bruch{3}{8},\bruch{3}{8},\bruch{6}{24})[/mm]
> c) [mm](\bruch{1+x_2}{2},0,\bruch{1+x_2}{2})[/mm]
> d) [mm](4x_3,0,\bruch{1}{4}x_1)[/mm]
Hallo folken,
bei den Lösungsvektoren sollte die Summe der drei
Komponenten doch wohl immer 1 betragen. Damit
sollte man die Ergebnisse bei c) und d) (sofern sie
überhaupt stimmen) vereinfachen können.
Das Ergebnis bei a) ist richtig, das bei b) nicht.
Wie bist du denn rechnerisch vorgegangen ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Di 30.08.2011 | | Autor: | folken |
Hallo, danke schonmal für deine Antwort.
Also bei b) bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Zunächst hat man ja dieses Gleichungsystem:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x_1 [/mm] + [mm] x_3
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}x_1
[/mm]
man hat auch die Bedingung: [mm] x_1+x_2+x_3 [/mm] = 1
da [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}x_1 [/mm] gilt, kann ich ja in die letzte
Gleichung folgendermaßen einsetzen:
[mm] 2x_1+\bruch{2}{3}x_1 [/mm] = 1
nach [mm] x_1 [/mm] umgeformt erhalte ich für [mm] x_1 [/mm] und damit auch für [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
Für [mm] x_3 [/mm] eingesetzt dementsprechend [mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{6}{24}
[/mm]
Wo ist mein Fehler?
Ich verstehe aber auch noch nicht ganz das Ergebnis, was sagt mir das Ergebnis bei a denn genau?
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> Hallo, danke schonmal für deine Antwort.
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> Also bei b) bin ich folgendermaßen vorgegangen:
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> Zunächst hat man ja dieses Gleichungsystem:
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}x_1[/mm]
>
> man hat auch die Bedingung: [mm]x_1+x_2+x_3[/mm] = 1
>
> da [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}x_1[/mm] gilt, kann ich ja
> in die letzte
> Gleichung folgendermaßen einsetzen:
>
> [mm]2x_1+\bruch{2}{3}x_1[/mm] = 1
>
> nach [mm]x_1[/mm] umgeformt erhalte ich für [mm]x_1[/mm] und damit auch für
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{3}{8}[/mm]
>
> Für [mm]x_3[/mm] eingesetzt dementsprechend [mm]x_3[/mm] = [mm]\bruch{6}{24}[/mm]
= [mm] \frac{1}{4} [/mm] ...
> Wo ist mein Fehler?
Du hast Recht. Ich hatte da vorher selber einen Fehler
gemacht ... sorry
> Ich verstehe aber auch noch nicht ganz das Ergebnis, was
> sagt mir das Ergebnis bei a denn genau?
Dass die entsprechende Markowkette (hast du die Graphen schon
gezeichnet ?) nur den einen stationären Zustand (1/3,1/3,1/3)
hat. Bei a) ist das auch ganz leicht einzusehen, da die
Matrix ja einfach eine Permutation der 3 Werte bewirkt,
welche alle 3 Werte betrifft.
Nach meiner Rechnung gibt es bei allen 4 Beispielen
jeweils genau einen stationären Zustand (welcher durch
einen weiteren Markow-Schritt nicht verändert wird).
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Sa 03.09.2011 | | Autor: | folken |
Hallo,
ich habe jetzt nochmal die c) und d) nochmal nachgerechnet und folgendes rausbekommen:
c) [mm] (\bruch{1}{2},0,\bruch{1}{2})
[/mm]
d) [mm] (\bruch{4}{5},0,\bruch{1}{5})
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
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> Hallo,
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> ich habe jetzt nochmal die c) und d) nochmal nachgerechnet
> und folgendes rausbekommen:
>
> c) [mm](\bruch{1}{2},0,\bruch{1}{2})[/mm]
>
> d) [mm](\bruch{4}{5},0,\bruch{1}{5})[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig?
Ich erhalte dasselbe.
LG Al-Chw.
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