Markovkettenkonvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Fry |
Hey,
beschäftige mich mit dem Markovkettenkonvergenzsatz (Ergodensatz):
Sei [mm](X_n)_n[/mm] eine irreduzible, aperiodische MK (mit Verteilung [mm]\mu^{(n)}[/mm]). Dann existiert genau eine stationäre Verteilung [mm]\pi[/mm] für die Übergangsmatrix P, so dass [mm]\mu^{(n)}\to\pi[/mm] in Totalvariation
Nun sind doch Irreduzibilität und Aperiodizität nur hinreichende Bedingungen. Sind nun folgende Gegenbeispiele ok?
(1) [mm]P=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm] Dann ist wegen [mm]P^n_{12}=P^{n}_{21}=0[/mm] für alle n
und [mm]P^n_{11}=P^n_{22}=1[/mm] für alle n die MK reduzibel und aperiodisch
Da die MK nicht irreduzibel ist, ist die stationäre Verteilung nicht eindeutig bzw hier ist jede beliebige Verteilung stationär für P.
Trotzdem konvergiert dann doch die MK in Totalvariation gegen [mm]\mu^{(0)}[/mm], falls [mm]\mu^{(0)}[/mm] Startverteilung, oder?
(2)[mm]P=\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 }[/mm] MK ist irreduzibel, aber periodisch (Periode 2 für alle Zustände)
Dann besitzt P die stationäre Verteilung [mm]\pi=(0.5,0.5)[/mm],
aber konvergiert nicht in Totalvariation, da [mm]P^n=E[/mm] für n gerade und [mm]P^n=P[/mm] für n ungerade
Beispiel dafür, dass Bedingungen nur hinreichend sind
(3)[mm]P=\pmat{ 0 & 1 \\
0 & 1 } [/mm] MK ist reduzibel und periodisch,
aber konvergiert in Totalvariation gegen [mm] $\pi=(0,1)$
[/mm]
da [mm] $P^n=P$ [/mm] und $(0,1)*P=(0,1)$
(4) Gibt es eine stochastische Matrix, die keine stationäre Verteilung hat?
Hoffe, ihr könnt mir helfen:
Viele Grüße
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Fry |
Weiß niemand Bescheid oder ists zu trivial? :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Fry |
Wurde beantwortet :)
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