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| Aufgabe | | Es sei [mm] (X_{n},Y_{n})_{0}^{\infty} [/mm] ein Martingal. Zeigen sie, dass dann [mm] (|X_{n}|,Y_{n})_{0}^{\infty} [/mm] ein Submartingal ist. |
Hallo!
Ich wollte nur wissen ob ich diese Aufgabe so lösen kann:
z.z.: [mm] E(|X_{n+1}||Y_{n}) \ge X_{n}[/mm]
Nach Definition gilt:
[mm] (X_{n},Y_{n})_{0}^{\infty} [/mm] ein Martingal [mm] \gdw E(X_{n+1}|Y_{n}) = X_{n}[/mm]
Es gilt aber auch nach Definition:
[mm] E(|X_{n+1}||Y_{n}) = \integral {|X_{n+1}(w)| dP(w|Y_{n}=y}) \ge \integral {X_{n+1}(w) dP(w|Y_{n}=y}) = E(X_{n+1}|Y_{n}) = X_{n} \forall n \in \IN_{0} [/mm] q.e.d.
Kann ich dass so begründen?
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> Es sei [mm](X_{n},Y_{n})_{0}^{\infty}[/mm] ein Martingal. Zeigen
> sie, dass dann [mm](|X_{n}|,Y_{n})_{0}^{\infty}[/mm] ein
> Submartingal ist.
> Hallo!
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> Ich wollte nur wissen ob ich diese Aufgabe so lösen kann:
>
> z.z.: [mm]E(|X_{n+1}||Y_{n}) \ge X_{n}[/mm]
Doch eher:
[mm] [center]$\mathrm{E}(|X_{n+1}||Y_{n}) \ge \red{|}X_{n}\red{|}$[/center]
[/mm]
>
> Nach Definition gilt:
> [mm](X_{n},Y_{n})_{0}^{\infty}[/mm] ein Martingal [mm]\gdw E(X_{n+1}|Y_{n}) = X_{n}[/mm]
>
> Es gilt aber auch nach Definition:
> [mm]E(|X_{n+1}||Y_{n}) = \integral {|X_{n+1}(w)| dP(w|Y_{n}=y}) \ge \integral {X_{n+1}(w) dP(w|Y_{n}=y}) = E(X_{n+1}|Y_{n}) = X_{n} \forall n \in \IN_{0}[/mm]
> q.e.d.
>
> Kann ich dass so begründen?
Du hättest die Betragszeichen ums Integral stehen lassen sollen:
[mm]\mathrm{E}(|X_{n+1}|\;|\;Y_{n}) = \int |X_{n+1}(w)| dP(w|Y_{n}=y) \ge \red{\Big|}\int X_{n+1}(w) dP(w|Y_{n}=y) \red{\Big|} = \red{|}\mathrm{E}(X_{n+1}|Y_{n})\red{|} = \red{|}X_{n}\red{|}[/mm]
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