Mass, abzählbar und co < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei F eine stetige, monoton wachsende Funktion und [mm] \mu [/mm] das zugehörige Stieltjesmass.
Zeigen Sie:
1) [mm] \mu(\{x\})=0 [/mm] für alle [mm] X\in\IR
[/mm]
2) abzählbare Mengen haben das Mass Null
3) Wenn eine Menge ein positives Mass hat, gibt es dann ein nicht leeres, offenes Intrvall? |
Hallo!
Die Aufgabe bereitet mir Probleme, da ich noch große Verständnisschwierigkeiten bzgl. des Masses habe.
Zu 1)
Also wir haben eine beliebige einelementige Menge. Man kann ja nur die Additivität ausnutzen, aber ich seh trotzdem nicht, warum dann die Summe gegen 0 geht.
Zu 2)
Jede abzählbare Menge kann man als Vereinigung seiner abzählbare vielen Punkten schreiben(folgt aus der Additivität, die für jedes Mass gilt)
Nehme die Nullmenge
=> [mm] \mu(\{x\})= \mu(\bigcup_{i=1}^{n}\{x_i\})= \summe_{i=1}^{n}\mu(\{x_i\})=0+0+...+0=0
[/mm]
Zu 3)
Uns wurde gesagt, dass wir 2) benutzen sollen als Hilfe, nur seh ich nicht den Zusammenhang. Oder kann man folgern, dass aus abzählbar positives Mass folgt und daraus, dass das Mass 0 ist.
Ehrlich gesagt verstehe ich die Definition von einem positiven Mass nicht. Ein Mass wird doch per Definition in [mm] [0,\infty] [/mm] geschickt.
So richtig komm ich nicht weiter und ich seh bei der Aufgabe gar nicht, wo man die Eigenschaften von F benutzen soll.
Vielen Dank für die Hilfe und lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Mo 30.10.2017 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: $ [mm] \mu((a,b])=F(b)-F(a).$ [/mm] So ist das Stieltjes-Maß definiert.
Zu 1): setze für n [mm] \in \IN: I_n:=(x-\frac{1}{n},x]. [/mm] Dann: [mm] I_{n+1} \subseteq I_n, \mu(I_1) [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] $\{x\}= \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n.
[/mm]
Es folgt (mit einer Eigenschaft eines jeden Maßes, die ihr sicher hattet ):
[mm] \mu(\{x\})=\lim_{n \to \infty} \mu(I_n)=\lim_{n \to \infty}(F(x)-F(x-\frac{1}{n}))=0,
[/mm]
da F stetig in x ist.
zu 2): sei A abzählbar, also [mm] A=\{x_1,x_2,...\}. [/mm] Mit der [mm] \sigma- [/mm] Subadditivität von [mm] \mu [/mm] folgt:
0 [mm] \le \mu(A) \le \sum_{n=1}^{\infty}\mu(\{x_n\})=0.
[/mm]
Also [mm] \mu(A)=0.
[/mm]
zu 3): Die Formulierung
"Wenn eine Menge ein positives Mass hat, gibt es dann ein nicht leeres, offenes Intrvall? "
ist merkwürdig !
Ähnlich wie die Frage:
" ist morgen Dienstag, gibt es dann ein nicht leeres, offenes Intrvall? "
Die Antwort ist "jawoll ! Z.B. (4711,4712)."
Also: wie lautet 3) wirklich ?
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Hallo und vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
Die 3. Aufgabe habe ich in der Tat ein wenig falsch formuliert. Entschuldigung. Die Frage war, wenn eine Menge ein positives Mass ist, ob sie dann ein nichtleeres, offenes Intervall enthalten muss?
Also offene Teilmengen kann man als abzählbare Vereinigung von offenen Teilmengen darstellen und nach 2) hätten die dann das Mass 0, also würde ich die Frage bejahen. Ist dies das richtige Argument?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 30.10.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
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> Die 3. Aufgabe habe ich in der Tat ein wenig falsch
> formuliert. Entschuldigung. Die Frage war, wenn eine Menge
> ein positives Mass ist, ob sie dann ein nichtleeres,
> offenes Intervall enthalten muss?
> Also offene Teilmengen kann man als abzählbare
> Vereinigung von offenen Teilmengen darstellen und nach 2)
> hätten die dann das Mass 0,
Wieso denn das ????
> also würde ich die Frage
> bejahen. Ist dies das richtige Argument?
Nein.
Wir haben doch $ [mm] \IR [/mm] = [mm] \IQ \cup [/mm] ( [mm] \IR \setminus \IQ)$ [/mm] und damit
$0< [mm] \mu( \IR) [/mm] = [mm] \mu(\IQ) [/mm] + [mm] \mu [/mm] ( [mm] \IR \setminus \IQ) [/mm] = [mm] \mu( \IR \setminus \IQ)$ [/mm]
Enthält $ [mm] \IR \setminus \IQ$ [/mm] ein offenes Intervall ?
>
> Lieben Gruß
>
> TheBozz-mismo
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Hallo
> > Hallo und vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
> >
> > Die 3. Aufgabe habe ich in der Tat ein wenig falsch
> > formuliert. Entschuldigung. Die Frage war, wenn eine Menge
> > ein positives Mass ist, ob sie dann ein nichtleeres,
> > offenes Intervall enthalten muss?
> > Also offene Teilmengen kann man als abzählbare
> > Vereinigung von offenen Teilmengen darstellen und nach 2)
> > hätten die dann das Mass 0,
>
> Wieso denn das ????
>
>
> > also würde ich die Frage
> > bejahen. Ist dies das richtige Argument?
>
> Nein.
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> Wir haben doch [mm]\IR = \IQ \cup ( \IR \setminus \IQ)[/mm] und
> damit
>
> [mm]0< \mu( \IR) = \mu(\IQ) + \mu ( \IR \setminus \IQ) = \mu( \IR \setminus \IQ)[/mm]
>
> Enthält [mm]\IR \setminus \IQ[/mm] ein offenes Intervall ?
Ja, da die irratioanlen Zahlen dicht in R liegen und das heißt doch genau, dass in jedem nichtleeren offenen Intervall gibt es eine irrationale Zahl.
> >
> > Lieben Gruß
> >
> > TheBozz-mismo
>
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Di 31.10.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> > > Hallo und vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
> > >
> > > Die 3. Aufgabe habe ich in der Tat ein wenig falsch
> > > formuliert. Entschuldigung. Die Frage war, wenn eine Menge
> > > ein positives Mass ist, ob sie dann ein nichtleeres,
> > > offenes Intervall enthalten muss?
> > > Also offene Teilmengen kann man als abzählbare
> > > Vereinigung von offenen Teilmengen darstellen und nach 2)
> > > hätten die dann das Mass 0,
> >
> > Wieso denn das ????
> >
> >
> > > also würde ich die Frage
> > > bejahen. Ist dies das richtige Argument?
> >
> > Nein.
> >
> > Wir haben doch [mm]\IR = \IQ \cup ( \IR \setminus \IQ)[/mm] und
> > damit
> >
> > [mm]0< \mu( \IR) = \mu(\IQ) + \mu ( \IR \setminus \IQ) = \mu( \IR \setminus \IQ)[/mm]
> >
> > Enthält [mm]\IR \setminus \IQ[/mm] ein offenes Intervall ?
> Ja,
Nein !
> da die irratioanlen Zahlen dicht in R liegen und das
> heißt doch genau, dass in jedem nichtleeren offenen
> Intervall gibt es eine irrationale Zahl.
das ist schon richtig, nur hier nicht brauchbar!
in jedem nichtleeren offenen Intervall liegt auch ein ganzer Haufen rationaler Zahlen.
Kann dann obige Menge ein nichtleeres offenes Intervall enthalten?
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> > > Lieben Gruß
> > >
> > > TheBozz-mismo
> >
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo.
Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
Also kann es kein offenes, nichtleeres Intervall geben, da in jedem Intervall auch rationale Zahlen wären und damit läg das Intervall dann nicht mehr in der Menge.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Do 02.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
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> Also kann es kein offenes, nichtleeres Intervall geben, da
> in jedem Intervall auch rationale Zahlen wären und damit
> läg das Intervall dann nicht mehr in der Menge.
>
Ja.
> Lieben Gruß
>
> TheBozz-mismo
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