Maß von Mengensystem < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Di 23.10.2012 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es sei $\Omega$ eine nichtleere Menge, $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $\Omega$, $\mu$ ein Maß auf $\mathcal{A}$ und $(E_k)_{k\in\mathbb{N}}$ sei eine Folge mit $E_k\in\mathcal{A}$ für alle $k\in\mathbb{N}$ mit der Eigenschaft $\sum_{k\in\mathbb{N}} \mu(E_k)<\infty$. Zeigen Sie :
a) Für die Menge $E=\left\{x\in\Omega:x\in E_k \text{ für unendlich viele }k\in\mathbb{N}}\right\}$ gilt $E\in\mathcal{A}$.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst $\textstyle E=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\geqslant n} E_k$.
b) Es gilt $\mu(E)=0$. |
Hallo zusammen,
ich könnte hier mal wieder eure Hilfe gebrauchen. Ich finde irgendwie nicht so recht den Zugang zu dieser Aufgabe. Bis jetzt habe ich mir Folgendes überlegt:
Zuerst wollte ich den Hinweis zeigen (irgendwas sagt mir, dass wenn man den Hinweis gezeigt hat, sich die Aussage in a) wahrscheinlich direkt ergibt, nur weiß ich gerade noch nicht so ganz wie...):
Es gilt ja nach Definition:
$x\in E_k \text{ für unendlich viele }k\in\mathbb{N}}$
$\iff \exists n_0\in\mathbb{N}: x\in E_k \forall k\geqslant n_0$ (so habe ich mal "$x\in E_k$ für unendlich viele $k\in\mathbb{N}$" interpretiert)
$\iff x\in \bigcap_{k=n_0}^\infty E_k = \bigcap_{k\geqslant n_0} E_k$
$\Longrightarrow \forall x\in E: (x\in\Omega)\wedge \left(x\in \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k\geqslant n_0} E_k\right)$
$\Longrightarrow x\in \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \bigcap_{k\geqslant n_0} E_k$
Aber das bringt mir ja so gar nichts, selbst wenn es richtig sein sollte. Hier sind ja im Vergleich zum Hinweis Durchschnitt und Vereinigung vertauscht... Außerdem kommt mir das Ganze, nachdem ichs hier nochmal hingeschrieben habe, auch ziemlich nutzlos vor, denn $\textstyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \bigcap_{k\geqslant n_0} E_k = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_k$, oder?
Könnt ihr mir hier vielleicht weiterhelfen? Ich habe hier gerade ein massives Brett vorm Kopf. :/
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Di 23.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lustique,
> Zuerst wollte ich den Hinweis zeigen (irgendwas sagt mir,
> dass wenn man den Hinweis gezeigt hat, sich die Aussage in
> a) wahrscheinlich direkt ergibt, nur weiß ich gerade noch
> nicht so ganz wie...):
In der Tat ist das so. Wenn du den Hinweis gezeigt hast, ist bei a) ja nur noch [mm] $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\geqslant n} E_k \in\mathcal{A}$ [/mm] zu überlegen. Und da [mm] $E_k\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] k\in\IN [/mm] gilt...
> Es gilt ja nach Definition:
>
> [mm]x\in E_k \text{ für unendlich viele }k\in\mathbb{N}}[/mm]
>
> [mm]\iff \exists n_0\in\mathbb{N}: x\in E_k \forall k\geqslant n_0[/mm]
> (so habe ich mal "[mm]x\in E_k[/mm] für unendlich viele
> [mm]k\in\mathbb{N}[/mm]" interpretiert)
Diese Interpretation passt nicht.
Z.B. könnte [mm] "$x\in E_k$ [/mm] für unendlich viele [mm] $k\in\IN$" [/mm] dadurch erfüllt sein, dass [mm] $x\in E_k$ [/mm] für alle geraden [mm] $k\in\IN$ [/mm] und [mm] $x\not\in E_k$ [/mm] für alle ungeraden [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt. Dann existiert jedoch kein [mm] $n_0\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $x\in E_k$ [/mm] für alle [mm] $k\ge n_0$.
[/mm]
Deine Interpretation sagt stattdessen aus: [mm] "$x\in E_k$ [/mm] für alle bis auf endlich viele [mm] $k\in\IN$", [/mm] was stärker ist als [mm] "$x\in E_k$ [/mm] für unendlich viele [mm] $k\in\IN$".
[/mm]
> Außerdem kommt
> mir das Ganze, nachdem ichs hier nochmal hingeschrieben
> habe, auch ziemlich nutzlos vor, denn [mm]\textstyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \bigcap_{k\geqslant n_0} E_k = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_k[/mm],
> oder?
Nein. Es gilt zwar [mm] "\subseteq", [/mm] aber i.A. nicht [mm] "\supseteq". [/mm] Das Ereignis [mm] $\textstyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \bigcap_{k\geqslant n_0} E_k$ [/mm] enthält nur die [mm] $x\in\Omega$, [/mm] die [mm] $x\in E_k$ [/mm] für alle bis auf endlich viele [mm] $k\in\IN$ [/mm] erfüllen.
Du könntest die Aussage [mm] $x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\geqslant n} E_k [/mm] $ mit Quantoren ausschreiben, so dass du eine Aussage ähnlich zu deinem Interpretationsversuch von [mm] $x\in [/mm] E$ erhältst.
Von dieser Aussage ist dann die Äquivalenz zu [mm] $x\in [/mm] E$ zu zeigen.
(Für Letzteres betrachtest du am besten beide Richtungen getrennt.)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine Hilfe! Ich glaube ich habe es mit deinen Tipps hinbekommen.
|
|
|
|
