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Hi ihr, ich habe folgendes Problem:
AUFGABE:
Seien [mm] I=I_{1} \times [/mm] .... [mm] \times I_{n}, J=J_{1} \times [/mm] .... [mm] \times J_{n} \in I(\IR^n [/mm] ) und sei [mm] \partial [/mm] ein Maß auf [mm] \IR^n [/mm] .
Beweisen Sie:
Falls I U J [mm] \in [/mm] I [mm] (IR^n [/mm] ) ist, so gilt [mm] \partial [/mm] (I U J) + [mm] \partial [/mm] (I [mm] \cap [/mm] J) = [mm] \partial [/mm] (I) + [mm] \partial [/mm] (J).
ich sitze jetzt schon ne stunde ran und habe so gut wie gar nix. wäre echt nett, wenn mir jemand einen tip geben könnte.
vielen lieben Dank
n.maus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 23.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich nehme mal an, dass [m] I(\mathbb{R}^n) [/m] die messbaren mengen bezeichnen?
kann man die aufgabe dann nicht so angehen ([m] \delta [/m] bezeichne das maß, das von die [m] \partial [/m] gennant wurde):
[m] \delta(I \cup J) + \delta(I \cap J) = \delta( I \setminus J + I \cap J + J \setminus I) + \delta(I \cap J) [/m]
nun ist [m] I \setminus J + I \cap J + J \setminus I [/m] eine disjunkt zerlegnung ist und da maße insbesondere additiv sind gilt:
[m] = \delta(I \setminus J) + \delta( I \cap J) + \delta(J \setminus I) + \delta(I \cap J) [/m]
da nun $ I [mm] \setminus [/mm] J $ und $ I [mm] \cap [/mm] J $ sowie $J [mm] \setminus [/mm] I$ und $I [mm] \cap [/mm] J$ wieder disjunkt sind kann man die additivität wieder in die andere richtung anwenden und man erhält:
[m] \delta(I \setminus J + I \cap J) + \delta(J \setminus I + I \cap J) = \delta(I) + \delta(J) [/m].
wenn ich hier quatsch von mir gebe verbessert mich bitte!
grüße
andreas
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