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| Aufgabe | Gegeben seien Mengen [mm] \Omega [/mm] und Mengensysteme [mm] \mathcal{M}. [/mm] Gib jeweils zwei verschiedene MAße auf [mm] \sigma(\mathcal{M}) [/mm] an, die auf [mm] \mathcal{M} [/mm] die gleichen Werte annehmen.
1. [mm] \Omega [/mm] = {1,2,3,4}, [mm] \mathcal{M} [/mm] = {{1,2},{2,4},{1,3},{3,4}}
2. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2\}^{2}, \mathcal{M} [/mm] = {{(1,2),(1,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(1,1)},{(2,1),(2,2)}} |
Hallo,
ich versteh ja so grundsätzlich die, was Maße sind, aber ich weiß nicht, wie ich aus einem [mm] \Omega [/mm] und einem Mengensystem Maße angeben kann.
Mir würde auch ein beispiel genügen.
Schon mal vielen Dank
fg
Chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Sa 01.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Christina,
Betrachte [mm] $\Omega=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{M}=\{\{1\}\}$. [/mm] Setze [mm] $P(\{1\})=1/3$. [/mm] Dann hast du nicht mehr sehr viele Moeglichkeiten, ein Mass auf [mm] $\sigma(\mathcal{M})=\{\emptyset,\Omega,\{1\},\{2\}\}$ [/mm] zu finden ...
vg Luis
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Hallo Luis,
danke für die Antwort;
wären dann meine zwei maße zu 1.
[mm] \sigma(\mathcal{M}_1) [/mm] = { [mm] \emptyset, \Omega, [/mm] { 1,2 },{ 3,4 }}
[mm] \sigma(\mathcal{M}_2) [/mm] = { [mm] \emptyset, \Omega, [/mm] { 1,3 },{ 2,4 }}
und zu 2.
[mm] \sigma(\mathcal{M}_1) [/mm] = { [mm] \emptyset, \Omega, [/mm] { (1,2),(1,1) },{ (2,1),(2,2) }}
[mm] \sigma(\mathcal{M}_2) [/mm] = { [mm] \emptyset, \Omega, [/mm] { (1,2),(2,2) },{ (2,1),(1,1) }}
oder stimmt das so nicht?
fg
Chrissi
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Hallo,
> oder stimmt das so nicht?
Ich sehe keine Maße, sondern nur Teilmengen der Sigma-Algebren! Maße sind Abbildungen, die Elementen der Sigma-Algebren (reelle) Zahlen zuordnen!
Du musst dir drei wesentliche Eigenschaften von Maßen zu nutze machen und auch beachten: Maße sind größergleich Null, Sigma-Additiv (was heißt das?) und werden durch die Angabe der Bilder der einelementigen Teilmengen einer Sigma-Algebra über einem abzählbaren [mm] \Omega [/mm] eindeutig definiert (warum?)
Das will zum Beispiel bei 1) heißen:
Wenn du [mm] P(\{1\}) [/mm] = ..., [mm] P(\{2\}) [/mm] = ..., [mm] P(\{3\}) [/mm] = ..., [mm] P(\{4\}) [/mm] = ... angibst und alle Werte, die du angegeben hast, größer gleich Null sind, hast du automatisch ein Maß definiert.
Vorschlag Nr. 1: Wähle [mm] $P_{1}(\{i\}) [/mm] = 1/4$ für alle i = 1,2,3,4.
Vorschlag Nr. 2: Nun musst du noch ein [mm] P_{2} [/mm] definieren. Verwende dazu zweimal die Werte "1/2" und zweimal "0".
Grüße,
Stefan
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