Masse über Volumenintegral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Basser92 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Halbkugel mit Radius R und Dichteverteilung [mm] \rho(\vec{r}). [/mm] Die Grundfläche der Halbkugel liegt in der x-y-Ebene. Verwenden Sie ein geeignetes Koordinatensystem. Die Dichteverteilung hat dabei folgende Form:
i) [mm] \rho(\vec{r})= \rho_{0}
[/mm]
ii) [mm] \rho(\vec{r})= \rho_{0}*sin(\theta)
[/mm]
iii) [mm] \rho(\vec{r})= \rho_{0}*\bruch{e^{-\alpha*r)}}{r^{2}}
[/mm]
a) Berechnen Sie für jede Dichteverteilung die Masse der Halbkugel.
b) Berechnen Sie für die Dichteverteilungen i) und ii) den Schwerpunkt der Halbkugel. |
Die Masse der Halbkugeln i) und ii) ist kein Problem, aber bei nummer iii) hab ich so meine Zweifel, ob das was ich gemacht hab stimmt. Meine Rechnung sieht so aus:
[mm] \integral_{V}^{}{\rho_{0}*\bruch{e^{-\alpha*r)}}{r^{2}} dV}=\integral_{0}^{\pi/2}{d\theta \integral_{0}^{2\pi}{d\phi \integral_{0}^{R}{dr \rho_{0}*e^{-\alpha*r)}*sin\theta dV}}}=\bruch{2}{3}*\pi*R^{3}*\bruch{1}{\alpha}*e^{-\alpha*R}*\rho_{0}*cos(\pi/2)=0
[/mm]
Ich hab jetzt ein paar Zwischenschritte ausgelassen, weil ich keine Lust hatte jedes Integral auszuschreiben. Das ganze verwirrt mich ein bisschen, weil die Masse 0 ergibt. Is irgendwo ein Fehler drin, den ich übersehen hab?
Und zur b): Wie geht das genau? Ich hab in meinen Unterlagen gesucht, aber nix dazu gefunden...
Danke schonmal für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 21.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben ist eine Halbkugel mit Radius R und
> Dichteverteilung [mm]\rho(\vec{r}).[/mm] Die Grundfläche der
> Halbkugel liegt in der x-y-Ebene. Verwenden Sie ein
> geeignetes Koordinatensystem. Die Dichteverteilung hat
> dabei folgende Form:
> i) [mm]\rho(\vec{r})= \rho_{0}[/mm]
> ii) [mm]\rho(\vec{r})= \rho_{0}*sin(\theta)[/mm]
>
> iii) [mm]\rho(\vec{r})= \rho_{0}*\bruch{e^{-\alpha*r)}}{r^{2}}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie für jede Dichteverteilung die Masse der
> Halbkugel.
> b) Berechnen Sie für die Dichteverteilungen i) und ii)
> den Schwerpunkt der Halbkugel.
> Die Masse der Halbkugeln i) und ii) ist kein Problem, aber
> bei nummer iii) hab ich so meine Zweifel, ob das was ich
> gemacht hab stimmt. Meine Rechnung sieht so aus:
>
> [mm]\integral_{V}^{}{\rho_{0}*\bruch{e^{-\alpha*r)}}{r^{2}} dV}=\integral_{0}^{\pi/2}{d\theta \integral_{0}^{2\pi}{d\phi \integral_{0}^{R}{dr \rho_{0}*e^{-\alpha*r)}*sin\theta dV}}}=\bruch{2}{3}*\pi*R^{3}*\bruch{1}{\alpha}*e^{-\alpha*R}*\rho_{0}*cos(\pi/2)=0[/mm]
>
> Ich hab jetzt ein paar Zwischenschritte ausgelassen, weil
> ich keine Lust hatte jedes Integral auszuschreiben. Das
> ganze verwirrt mich ein bisschen, weil die Masse 0 ergibt.
> Is irgendwo ein Fehler drin, den ich übersehen hab?
ja, da muss einer sein, denn die Masse ist ungleich 0. Wo der Fehler liegt, kann ich Dir aber nicht sagen, da Du Deine Rechnung verheimlichst.
Ich kann Dir aber soviel sagen: Die Masse ist eine Summe und beim Inegrieren zieht man die Stammfunktion an der Stelle der oberen Grenzen von der an der Stelle der unteren Grezen ab (deswegen auch eine Summe). D.h. es muss auch ein [mm] $\cos(0)$ [/mm] vorkommen.
>
> Und zur b): Wie geht das genau? Ich hab in meinen
> Unterlagen gesucht, aber nix dazu gefunden...
Schaum mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
>
> Danke schonmal für die Hilfe :)
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Basser92 |
Ah, das kommt davon, wenn man das alles im Kopf rechnet ohne zu überprüfen... Hab übersehen, dass cos(0) ja 1 ergibt und dann am Ende deswegen eine negative Masse rauskommt, was zwar auch komisch ist, aber stimmen müsste, wenn ich mich mit den Vorzeichen nicht vertan hab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mi 21.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Ah, das kommt davon, wenn man das alles im Kopf rechnet
> ohne zu überprüfen... Hab übersehen, dass cos(0) ja 1
> ergibt und dann am Ende deswegen eine negative Masse
> rauskommt, was zwar auch komisch ist, aber stimmen müsste,
> wenn ich mich mit den Vorzeichen nicht vertan hab.
Nein, auch da kannst Du Deiner Intuition vertrauen - die Masse ist nicht negativ. Das muss also an einem Rechenfehler liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Basser92 |
Hehe, netter Link ;D Hab da anscheinend en bisschen aufm Schlauch gestanden weil ich net gemerkt hab, dass ich das ja über die Dichteverteilung machen kann :D
Aber noch eine Frage zu der Formel von Wikipedia. Der Schwerpunkt ist definiert als [mm] \vec{r}_{s}=\bruch{1}{M}\integral_{v}^{}{\vec{r}\rho(\vec{r}) dV}. [/mm] Was muss ich jetzt für den Vektor [mm] \vec{r} [/mm] einsetzen? Ist das einfach [mm] R*\vec{e}_{r}, [/mm] oder wie soll ich den Vektor verstehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 21.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Hehe, netter Link ;D Hab da anscheinend en bisschen aufm
> Schlauch gestanden weil ich net gemerkt hab, dass ich das
> ja über die Dichteverteilung machen kann :D
> Aber noch eine Frage zu der Formel von Wikipedia. Der
> Schwerpunkt ist definiert als
> [mm]\vec{r}_{s}=\bruch{1}{M}\integral_{v}^{}{\vec{r}\rho(\vec{r}) dV}.[/mm]
> Was muss ich jetzt für den Vektor [mm]\vec{r}[/mm] einsetzen? Ist
> das einfach [mm]R*\vec{e}_{r},[/mm] oder wie soll ich den Vektor
> verstehen?
Das ist der Ortsvektor, also in kartesischen Koordinaten einfach [mm] $\vec{r}=(x,y,z)$ [/mm] und in Kugelkoordinaten [mm] $\vec r=r\vec{e}_r$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Basser92 |
okay, dann hab ich das ja richtig gedeutet. Danke :)
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