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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Masse und Schwerpunkt
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Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Aufgabe
Sei K [mm] \subset \IR^{3} [/mm] ein Kegel mit einem Kreis in der xy-Ebene um den Nullpunkt und mit Radius R als Grundfläche. Die Spitze des Kegels befinde sich im Punkt(0,0,h). Der Kegel sei mit einer Masse  gefüllt, deren Dichte
[mm] \rho: \IR^{3} \to \IR [/mm] durch [mm] \rho(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} [/mm] gegeben ist.
Bestimmen Sie
a) die durch [mm] M:=\integral_{K}^{}{\rho(x_{1},x_{2},x_{3}) d(x_{1},x_{2},x_{3})} [/mm] gegebene Masse des Kegels ,
b) den Schwerpunkt [mm] S=(S_{1}, S_{2}, S_{3}) [/mm] des Kegels , dessen Koordinaten durch [mm] S_{j}:=\bruch{1}{M}\integral_{K}^{}{x_{j}\rho(x_{1},x_{2},x_{3}) d(x_{1},x_{2},x_{3})} [/mm]
für j=1,2,3 gegeben sind.

Hallo,

a) ich habe so gerechnet:

M= [mm] \integral_{K}^{}{x_{3}d(x_{1},x_{2},x_{3})} [/mm]

K={ [mm] (x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR^{3}: (x_{1},x_{2}) \in [/mm] A:= [mm] {(x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} : x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \le R^{2}}, [/mm] 0 [mm] \le x_{3} \le [/mm] h }

Also,  [mm] M=\integral_{A}^{}{ (\integral_{0}^{h}{x_{3}dx_{3}}) d(x_{1},x_{2})} [/mm] = [mm] \bruch{h^{3}}{2}\integral_{A}^{}{1 d(x_{1},x_{2})}=...= h^{3} \integral_{-R}^{R}{\wurzel{R^{2}-x^{2}} dx_{1}}=...= h^{3} \bruch{\pi *r^{2}}{4}. [/mm]

Stimmt das ?

MfG
Igor



        
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Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Do 09.07.2009
Autor: leduart

Hallo
Ich sehe keinen Kegel in deinem Volumenintegral? koenntest du die einzelnen formeln erklaeren? r haent doch z. Bsp von x3 ab?
woher kommt dass [mm] \wurzel{R^2-x^2}dx1 [/mm] wo blieb das dx2?
wie kommst du von dem Integral zu deinem ergebnis?
So was schreit nach zylinderkoordinaten
Gruss leduart

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Hallo leduart,

was ich zu deinen Bemerkungen sagen kann:

> Hallo
>  Ich sehe keinen Kegel in deinem Volumenintegral? koenntest

Ich weiß nicht, was Du mit:  Du siehst keine Kegel im Volumenintegral
meinst

> du die einzelnen formeln erklaeren? r haent doch z. Bsp von
> x3 ab?
>  woher kommt dass [mm]\wurzel{R^2-x^2}dx1[/mm] wo blieb das dx2?

die Pünktcken zwischen den Gleichheitszeichen "verschlucken"
das Integral , wo es auch x2 vorkommt. Am Ende kommt jedoch nur das Integral mit dx1.

> wie kommst du von dem Integral zu deinem ergebnis?

ich habe halt das Integral ausgerechnet ( die Stammfunktion von
[mm] \wurzel{R^{2}-x^{2} } [/mm] habe ich in der Formelsammlung nachgeschaut)

P.S:Ich habe mir im Heuser Analysis Teil 2 Seite 471 einen Ansatz angeschaut, ich weiß nicht , ob der hier passt.

>  So was schreit nach zylinderkoordinaten
>  Gruss leduart

Gruss
Igor


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Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Stimmen  M und K?

Wenn die stimmen, dann habe  ich einfach nur das Integral M ausgerechnet.

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Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Do 09.07.2009
Autor: leduart

Hallo
Stimmen nicht.
Gruss leduart

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Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Do 09.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Igor,

man kann bei dieser Aufgabe mit einfachen
Integralen (keine Dreifachintegrale und auch
keine Koordinatentransformation) auskommen,
wenn man als Volumenelemente Scheiben
der Dicke dz benützt.
Für die z-Koordinate [mm] z_S [/mm] des Schwerpunkts
[mm] S(0/0/z_S) [/mm] hat man dann z.B.:

    $\ [mm] z_S=\bruch{1}{Gesamtmasse}*\integral_{z=0}^{h}z*\pi*(r(z))^2*\rho(z)\,dz$ [/mm]


LG    Al-Chw.

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Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Hallo Al-Chwarizmi,

ich schaue mir deinen Ansatz an.

Kann man die Aufgabe auch mit meinem Ansatz machen?

Kommt ihr auch auf dasselbe Endergebnis ?

Gruss
Igor

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Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Do 09.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi,
>  
> ich schaue mir deinen Ansatz an.
>  
> Kann man die Aufgabe auch mit meinem Ansatz machen?

   Leider durchschaue ich deinen Ansatz nicht so recht ...

> Kommt ihr auch auf dasselbe Endergebnis ?
>  
> Gruss
>  Igor


Ich habe jetzt die Rechnungen gemacht und
bin auf folgende Ergebnisse gekommen:

    $\ M\ =\ [mm] \bruch{\pi}{12}\,R^2\,h^2$ [/mm]

(damit dies dimensionsmäßig stimmt,
müsste man natürlich noch mit [mm] \bruch{Masseneinheit}{Laengeneinheit\,^4} [/mm]
multiplizieren !)

    $\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \bruch{2}{5}\,h$ [/mm]


Gruß     Al-Chw.

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Masse und Schwerpunkt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:58 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

ich habe im Internet das Buch gefunden !!
Kannst Du bitte den Ansatz auf der []Seite471anschauen?

Das Link führt zur Seite 2 , man kann aber die Seite 471 ohne grosse
Schwierigkeit finden.

Danke !


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Masse und Schwerpunkt: Crash !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Do 09.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> ich habe im Internet das Buch gefunden !!
>  Kannst Du bitte den Ansatz auf der
> []Seite471anschauen?
>  
> Das Link führt zur Seite 2 , man kann aber die Seite 471
> ohne grosse
>  Schwierigkeit finden.
>  
> Danke !


Hallo Igor,

wenn ich den Link ausführen will,
bricht mein Browser zusammen ...

LG   Al-Chw.

  

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Hallo Al-Chwarizmi,

bei mir funktioniert der Link ohne Probleme...hmm...

Gruss
Igor

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Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Do 09.07.2009
Autor: leduart

Hallo
Du integriierst zuerst ueber z (bzw x3) von o bis h. Dabei beruecksichtigst du nicht, dass ja die Bereiche fuer x1,x2  von z abhaengen. dann koennen deine Grenzen nicht so aussehen (einfach 0 bis h, sondern haengen von x1,x2 ab, oder du integrierst erst ueber x1,x2,  (was unnoetig ist, da du ja die Kreisflaeche kennst d.h. wie al Ch.) und dann ueber x3.
so wie du integrierst ist da wirklich kein Kegel.
das merkst du z. Bsp, wenn du so das Volumen des Kegels ausrechnest, also statt x3 1 schreibst.
was du rechnest ist ein Zylinder.
Es hat auch nichts mit dem Vorgehen in dem Buch zu tun, da sind ja die Grenzen [mm] \phi1(x1,x2) [/mm] und [mm] \phi2(x1,x2) [/mm]
Gruss leduart


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Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Hallo leduart,
ich nehme an, bei Dir hat der Link funktioniert ?

Der Ansatz wäre ok gewesen, wenn man die Grenzen ändert?
Ich weiß noch momentan nicht, was ich genau  dort ändern muss, jedoch ich habe verstanden, dass ich nicht 0 [mm] \le [/mm] x3 [mm] \le [/mm] h schreiben kann, sondern anstatt 0 und h sollen stetige Funktionen sein, die von x1 und x2 abhängen.

Gruss
Igor

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Do 09.07.2009
Autor: leduart

Hallo
ich weiss immer noch nicht wie du auf die Wurzel gekommen bist. und ja, du brauchst die abhaengigkeit der Radius r von x3
Gruss leduart

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Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

ich habe versucht die Kreisscheibe in der xy-Ebene als  Normalbereich zu beschreiben(bin nicht sicher, ob das richtiger Weg ist). Durch Umformungen wie z.B: [mm] x^{2}+y^{2} \le R^{2} \gdw [/mm]
y [mm] \le \wurzel {R^{2}-x^{2}} [/mm] entstand dann die Wurzel.

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Do 09.07.2009
Autor: leduart

Hallo
Das war hier falsch weil siehe oben r(z) da stehen muesste.
Grundsaetzlich solltest du bei Problemen die kreise enthalten entweder mit Zylinderkoordinaten rechnen, oder ein eindimensionales integral aus Kreisscheiben, wie al ch geschrieben hat bilden.
Gruss leduart

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

warum hängt R von z ab? ich kann doch einen Radius R zu jedem Punkt auf der z-Achse wählen, so dass immernoch ein Kegel entsteht. Oder?


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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Do 09.07.2009
Autor: leduart

hallo
Radius in der x-y Ebene ist R auf halber Hoehe? bei x3=h?
Weisst du was ein Kegel ist? das Ding hat ne Spitze und wird von unten nach oben immer duenner. R war der feste Radius unten, mein r der von der Hoehe abh. Radius innerhalb dessen x,y sein muss.
Gruss leduart

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:31 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

bei meinen Betrachtungen/Lösungsvorschlag  kam kein r vor, sondern R.
Warum soll hier noch ein r sein?

Ist grundsätzlich die Aufgabe mit dem Ansatz im Buch zu lösen oder geht das überhaupt nicht, weil vielleicht r von z abhängt oder so, und das würde den Ansatz völlig unmöglich machen oder kann man da noch was machen?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Do 09.07.2009
Autor: leduart

Hallo
irgendwie ist das wohl mach bar, da du nur zu jedem x,y die darueberliegende Hohe h =x3 angben musst. Aber da es hier die ungeschickteste methode ist musst du die schon selber machen, ich knie mich da nicht rein.
ausserdem heisst die methode ja nicht, das immer z das ist, was man zuerst intgriert, x,y,z sind natuerlich austauschbar.
ist das aus deiner Vorlesung, oder warum willst du grade jetzt das moeglichst umstaendlichste machen?
gruss leduart


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Masse und Schwerpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:59 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

Das Problem ist , ich weiß nicht wirklich, was Uni als Methode erwartet.

Man könnte sagen: da ich nicht genau weiß, dann mach halt irgendwas.
Dann würde ich den einfachsten Ansatz nehmen.
Irgendwie aber kommen auf demselben Übungsblatt zweifache-Integrale
, Normalbereiche und sowas ähnliches .

D.h ich möchte nicht den umständlichsten Weg nehmen, sondern ich möchte wissen, welche Methode hier erwartet wird.

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Do 09.07.2009
Autor: Igor1

ich habe gerade was im Buch über Zylinderkoordinaten gefunden. Das Integral , das man da benutzt ist ähnlich wie bei der Aufgabe. Ich schaue mir das an.
Danke für  den Vorschlag !

Was Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, ist meiner Ansich nach, etwas anderes als wir gerade in der Vorlesung machen. Bei uns geht es um zweifache Integrale und sowas wie Normalbereiche , Satz von Fubini , Vertauschung der Reihenfolge der Integranden . Der Ansatz im Buch
war in demselben Kapitel wie Normalbereiche. Deshalb habe ich den Ansatz genommen.
Es kann sein , dass der Ansatz , den Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, am
besten/ am einfachsten. Ich bin mir aber nicht sicher , ob  das auch
als Lösungsansatz in der Uni erwartet wird.




Bezug
                                                                        
Bezug
Masse und Schwerpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Fr 10.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> ich habe gerade was im Buch über Zylinderkoordinaten
> gefunden. Das Integral , das man da benutzt ist ähnlich
> wie bei der Aufgabe. Ich schaue mir das an.
> Danke für  den Vorschlag !
>  
> Was Al-Chwarizmi vorgeschlagen hat, ist meiner Ansich nach,
> etwas anderes als wir gerade in der Vorlesung machen. Bei
> uns geht es um zweifache Integrale und sowas wie
> Normalbereiche , Satz von Fubini , Vertauschung der
> Reihenfolge der Integranden . Der Ansatz im Buch
> war in demselben Kapitel wie Normalbereiche. Deshalb habe
> ich den Ansatz genommen.
> Es kann sein , dass der Ansatz , den Al-Chwarizmi
> vorgeschlagen hat, am
> besten/ am einfachsten. Ich bin mir aber nicht sicher , ob  
> das auch
> als Lösungsansatz in der Uni erwartet wird.



Hallo,

da bin ich nochmal. Du kannst natürlich auch
mit zweifach- oder dreifach- Integralen operieren.
Nehmen wir einmal das Dreifachintegral in
Zylinderkoordinaten für die Masse.

Als innerste Integration nehmen wir z.B. die
über den Radius, dann die über die z-Koordinate
und dann die äusserste über den Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] .

Für einen vorgegebenen z-Wert läuft die Inte-
gration über r von 0 bis [mm] r=r(z)=R*\bruch{h-z}{h}=R*(1-\bruch{z}{h}) [/mm]
und die über [mm] \varphi [/mm] von 0 bis [mm] 2*\pi. [/mm]

Dann haben wir für die Massenberechnung
das Integral

     $\ [mm] M=\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R*(1-\bruch{z}{h})}\underbrace{z}_{Dichte}*\,\underbrace{r*dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz}$ [/mm]


LG und   [gutenacht]    

Al-Chw.

Bezug
                                                                                
Bezug
Masse und Schwerpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:49 Fr 10.07.2009
Autor: Igor1

Hallo Al-Chwarizmi,

Vielen Dank !


LG
Igor

Bezug
        
Bezug
Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Fr 10.07.2009
Autor: Igor1

Hallo,

wird der Schwerpunkt des Kegels ähnlich wie die Masse des Kegels in der Aufgabe bestimmt?
Ich meine: wird hier das Integral , das Al-Chwarizmi in seinem letzten Beitrag gepostet hat, verwendet?

Gruss
Igor

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Schwerpunktskoordinaten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Fr 10.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> wird der Schwerpunkt des Kegels ähnlich wie die Masse des
> Kegels in der Aufgabe bestimmt?
> Ich meine: wird hier das Integral , das Al-Chwarizmi in
> seinem letzten Beitrag gepostet hat, verwendet?
>  
> Gruss
>  Igor


          $ \ [mm] M=\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $


      $ [mm] \red{z_S}*M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{z}_{z-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $

Dass  [mm] x_S=y_S=0 [/mm]  sein muss, ist in dieser Aufgabe
aus Symmetriegründen einleuchtend, doch wenn
du willst, kannst du das auch nachrechnen:

      $ [mm] \red{x_S}*M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{x}_{x-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $

      $ [mm] \red{y_S}*M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{y}_{y-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $


Gruß
Al-Chwarizmi




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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 So 12.07.2009
Autor: Igor1

Hallo Al-Chwarizmi,

wenn ich [mm] z_{S} [/mm] berechne, dann kommt bei mir
[mm] \bruch{ R^{2}h^{3}\pi}{12} [/mm] raus.
Mir ist nicht ganz klar, was bei [mm] x_{S}, y_{S} [/mm] rauskommen soll.
Ich habe mir gedacht, dass x-Koordinate bzw. y-Koordinate bei den jeweiligen Integrationen nur Konstanten sind. Deshalb kommt bei mir raus,
dass [mm] x_{S}= [/mm] x   [mm] y_{S}= [/mm] y, da ansonsten  x bzw. [mm] y*\bruch{M}{M} [/mm] steht.
Das  wäre was anderes als es bei Dir herauskam.
Im Prinzip weiß ich nicht, was man bei den Integralen anderes rechnen soll , als es bei M war.


Wo ist der Fehler?

LG
Igor

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Bezug
Masse und Schwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 So 12.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi,
>  
> wenn ich [mm]z_{S}[/mm] berechne, dann kommt bei mir
> [mm]\bruch{ R^{2}h^{3}\pi}{12}[/mm] raus.

Das kann nicht stimmen. Dies wäre ja das
Produkt aus Kegelmasse und Kegelhöhe ...

>  Mir ist nicht ganz klar, was bei [mm]x_{S}, y_{S}[/mm] rauskommen
> soll.

Weil die Kegelachse die z-Achse ist und die
Masse rotationssymmetrisch um diese
Achse verteilt ist, muss der Schwerpunkt
auf der z-Achse liegen, also [mm] x_S=y_S=0 [/mm] .
Wenn du eines der entsprechenden Inte-
grale berechnen willst, musst du [mm] x=r*cos(\varphi) [/mm]
bzw. [mm] y=r*sin(\varphi) [/mm]  einsetzen !

>  Ich habe mir gedacht, dass x-Koordinate bzw. y-Koordinate
> bei den jeweiligen Integrationen nur Konstanten sind.

Nein, das sind sie eben nicht.

> Deshalb kommt bei mir raus,
>  dass [mm]x_{S}=[/mm] x   [mm]y_{S}=[/mm] y, da ansonsten  x bzw.
> [mm]y*\bruch{M}{M}[/mm] steht.
>  Das  wäre was anderes als es bei Dir herauskam.
> Im Prinzip weiß ich nicht, was man bei den Integralen
> anderes rechnen soll , als es bei M war.
>
> Wo ist der Fehler?


Nehmen wir das Integral für die z-Koordinate:

    $ [mm] \red{z_S}\cdot{}M\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\integral_{z=0}^{h}\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}\red{\underbrace{z}_{z-Koord.}}\cdot{}\underbrace{z}_{Dichte}\cdot{}\,\underbrace{r\cdot{}dr\ dz\,d\varphi}_{=\,dx\,dy\,dz} [/mm] $

Um die Übersicht zu wahren, lohnt sich die
folgende Schreibweise:

    $\ [mm] z_S\ [/mm] =\ [mm] \bruch{1}{M}*\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}d\varphi\integral_{z=0}^{h}dz*z^2\integral_{r=0}^{R\cdot{}(1-\bruch{z}{h})}dr [/mm] *r$

Jetzt der Reihe nach, von innen nach aussen,
integrieren.

LG

Bezug
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