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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Di 06.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] ( X, \mathcal A , \mu ) [/mm] ein Maßraum. Sei [mm] A_n , n \in \mathbb N [/mm] , eine Folge in [mm] \mathcal A [/mm] mit [mm] A_n \subseteq A_{n+1} [/mm] für alle n.
Es sei [mm] A = \bigcup_{ n \in \mathbb N } A_n [/mm]. Zeigen Sie
[mm] \mu (A) = \sup_{n \in \mathbb N } \mu (A_n) [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Also ich habe irgendwie generell Schwierigkeiten bei der MAßtheorie, insbesondere bei Beweisen.
Mir fehlt auch bei dieser Aufgabe wieder eine Beweisidee :-(. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich anfangen soll... Ich habe versucht zum Beispiel A als disjunkte Vereinigung der [mm] A_n [/mm] darzustellen, aber ich weiß garnicht ob mich das weiterbringt....
Danke für jede Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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Die Folgen sind ja ineinander enthalten:
[mm]A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq ...[/mm]
Also ist
[mm]µ(A_1) \le µ(A_2) \le µ(A_3) \le ...[/mm]
und damit [mm](µ(A_i))_{i}[/mm] eine monotone Folge.
Mit [mm]A = \bigcup_{ n \in \mathbb N } A_n[/mm] und der ersten Bedingung ist [mm]A = \limsup_{ n \in \mathbb N } A_n[/mm]. Dann ist
[mm]µ(A) = µ(\limsup_{ n \in \mathbb N } A_n) = \limsup_{ n \in \mathbb N } µ(A_n)[/mm]
(Warum darf man den letzten Schluß hier ziehen? Hier kommt auch wieder Bedingung 1 ins Spiel...). Wegen der Monotie der Folge der Maße ist noch
[mm]\limsup_{ n \in \mathbb N } µ(A_n) = \sup_{ n \in \mathbb N } µ(A_n)[/mm]
- das war's.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Vielen vielen Dank! Jetzt verstehe ich das auf Anhieb... Ich weiß nicht, warum ich nicht auf solche Sachen selber komme?! Kann mir vielleicht jemand verraten, wie man das trainieren kann?
1000Dank nochmal!
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