Maßeindeutigkeitssatz anwenden < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mo 07.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_n)_{n\ge{1}} [/mm] eine unabhängige Folge von [mm] Bernoulli(\bruch{1}{2})-verteilten [/mm] Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega,\mathcal{F},P).
[/mm]
[mm] \text{Zeigen Sie, dass dann }X:=\sum_{n\ge{1}} \bruch{X_n}{2^n}\text{ uniform verteilt auf [0,1] ist.}
[/mm]
[mm] \text{(Tipp: Betrachten Sie Intervalle der Form }\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\text{ mit }k,m\in{\IN_0}, k<2^m\text{ und wenden Sie dann den Maßeindeutigkeitssatz an.)} [/mm] |
Hallo Leute,
also ich hab zmindest mal verstanden, was hier gezeigt werden soll und um was es geht, hab aber etwas Probleme mit der Umsetzung.
Okay ich leg einfach mal los.
Sei [mm] \mathcal{E}:=\left\{\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)|k,m\in{\IN_0}, k<2^m\right\} [/mm] und die übliche Topologie auf [0,1] gegeben durch [mm] \mathcal{O}=\{(a,b)\cup{[0,c)}\cup{(d,1]}|a,b,c,d\in{[0,1]}, a
Weiter sei Y~Unif([0,1]) eine uniform verteilte ZV.
Also im Großen und Ganzen möcht ich nun zwei Dinge zeigen, um den Maßeindeutigkeitssatz nachher anwenden zu können.
(1) [mm] \sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})
[/mm]
(2) [mm] P_Y[A]=P_X[A] [/mm] für alle [mm] A\in{\mathcal{E}}
[/mm]
zu (1):
[mm] "\supseteq"
[/mm]
[mm] \text{Für alle }k,m\in{\IN_0}, k<2^m\text{ gilt:} \left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\in{\mathcal{O}}\subseteq{\sigma(\mathcal{O})}=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mathcal{E}\subseteq{\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sigma(\mathcal{E})\subseteq{\sigma(\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O}))}=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})
[/mm]
[mm] "\subseteq"
[/mm]
[mm] \text{Für alle }a,b,c,d\in{[0,1]}\text{ gilt:}\text{ } [0,c)=\bigcup_{k,m\in{\IN_0}\atop{k<2^m}} \underbrace{\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)}_{\in{\mathcal{E}}} \in{\sigma(\mathcal{E})}
[/mm]
(d,1]=?
[mm] \text{Für }a
zu (2):
[mm] P_Y[A]=P_Y\left[\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\right]=F_Y\left(\bruch{(k+1)}{2^m}\right)-F_Y\left(\bruch{k}{2^m}\right)=\bruch{(k+1)-k}{2^m}=\bruch{1}{2^m}
[/mm]
[mm] P_X[A]=P_X\left[\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\right]=F_X\left(\bruch{(k+1)}{2^m}\right)-F_X\left(\bruch{k}{2^m}\right)=?
[/mm]
Für (2) sollen wir irgendwie die Verteilung und Unabhängigkeit der [mm] X_n [/mm] verwenden, aber ich hab keine Plan wie ich das anstellen soll.
Wär also echt richtig klasse, wenn jemand helfen könnte und den ein oder anderen Tipp hätte. Herzlichen Dank schon mal!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 08.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Mir würd eigentlich an Tipp für (1) schon reichen, also d.h. für den Teil, in dem ich zeigen muss, dass [mm] \mathcal{E} [/mm] ein Erzeuger der Borelschen [mm] \sigma-Algebra [/mm] von [0,1] ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 09.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm](X_n)_{n\ge{1}}[/mm] eine unabhängige Folge von
> [mm]Bernoulli(\bruch{1}{2})-verteilten[/mm] Zufallsvariablen auf
> einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm](\Omega,\mathcal{F},P).[/mm]
> [mm]\text{Zeigen Sie, dass dann }X:=\sum_{n\ge{1}} \bruch{X_n}{2^n}\text{ uniform verteilt auf [0,1] ist.}[/mm]
>
> [mm]\text{(Tipp: Betrachten Sie Intervalle der Form }\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\text{ mit }k,m\in{\IN_0}, k<2^m\text{ und wenden Sie dann den Maßeindeutigkeitssatz an.)}[/mm]
>
> Hallo Leute,
> also ich hab zmindest mal verstanden, was hier gezeigt
> werden soll und um was es geht, hab aber etwas Probleme mit
> der Umsetzung.
> Okay ich leg einfach mal los.
>
> Sei
> [mm]\mathcal{E}:=\left\{\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)|k,m\in{\IN_0}, k<2^m\right\}[/mm]
> und die übliche Topologie auf [0,1] gegeben durch
> [mm]\mathcal{O}=\{(a,b)\cup{[0,c)}\cup{(d,1]}|a,b,c,d\in{[0,1]}, a
>
> Weiter sei Y~Unif([0,1]) eine uniform verteilte ZV.
>
> Also im Großen und Ganzen möcht ich nun zwei Dinge
> zeigen, um den Maßeindeutigkeitssatz nachher anwenden zu
> können.
>
> (1) [mm]\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})[/mm]
> (2) [mm]P_Y[A]=P_X[A][/mm] für alle [mm]A\in{\mathcal{E}}[/mm]
>
> zu (1):
> [mm]"\supseteq"[/mm]
>
> [mm]\text{Für alle }k,m\in{\IN_0}, k<2^m\text{ gilt:} \left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\in{\mathcal{O}}\subseteq{\sigma(\mathcal{O})}=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \mathcal{E}\subseteq{\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sigma(\mathcal{E})\subseteq{\sigma(\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O}))}=\mathcal{B}([0,1],\mathcal{O})[/mm]
>
> [mm]"\subseteq"[/mm]
>
> [mm]\text{Für alle }a,b,c,d\in{[0,1]}\text{ gilt:}\text{ } [0,c)=\bigcup_{k,m\in{\IN_0}\atop{k<2^m}} \underbrace{\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)}_{\in{\mathcal{E}}} \in{\sigma(\mathcal{E})}[/mm]
>
> (d,1]=?
>
> [mm]\text{Für }a
>
> zu (2):
>
> [mm]P_Y[A]=P_Y\left[\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\right]=F_Y\left(\bruch{(k+1)}{2^m}\right)-F_Y\left(\bruch{k}{2^m}\right)=\bruch{(k+1)-k}{2^m}=\bruch{1}{2^m}[/mm]
>
> [mm]P_X[A]=P_X\left[\left[\bruch{k}{2^m},\bruch{(k+1)}{2^m}\right)\right]=F_X\left(\bruch{(k+1)}{2^m}\right)-F_X\left(\bruch{k}{2^m}\right)=?[/mm]
>
> Für (2) sollen wir irgendwie die Verteilung und
> Unabhängigkeit der [mm]X_n[/mm] verwenden, aber ich hab keine Plan
> wie ich das anstellen soll.
>
> Wär also echt richtig klasse, wenn jemand helfen könnte
> und den ein oder anderen Tipp hätte. Herzlichen Dank schon
> mal!!
Meine Idee dazu:
Nimm mal, F sei eine rechtsstetige Funktion auf I:=[0,1]. Nimm weiter an, auf einer in I dichten Teilmenge D gelte F(r)=r. Sei nun [mm] r_i\in D\to t\in [/mm] I mit [mm] r_i>t. [/mm] Dann gilt [mm] F(t)=\lim F(r_i)=\lim r_i=t.
[/mm]
Sei nun [mm] S:=\summe X_i/2^i [/mm] mit den [mm] X_i [/mm] wie oben. Die Menge D der endlichen Dualbrüche ist dicht in I. Sei [mm] T_k\in [/mm] D ein solcher Bruch, der genau nach der k-ten Stelle abbricht: [mm] T_k=\summe_{i=1}^k t_i/2^i [/mm] mit [mm] t_k=1. [/mm]
Nimm an für alle solchen [mm] T_k [/mm] gelte [mm] P(\{S\le T_k\})=T_k [/mm] für k=0,...,n ist (wobei [mm] T_0:=0 [/mm] und [mm] T_1=1/2 [/mm] keine Schwierigkeiten bereiten sollten), und nun sei ein entsprechendes [mm] T'_{n+1}=\summe_{i=1}^{n+1} t'_i/2^i=:T'_k+t'_{n+1}/2^{n+1} [/mm] mit [mm]t'_{n+1}=1[/mm] und einem entsprechenden [mm]T'_k[/mm] mit [mm] 0\le k\le [/mm] n vorgelegt.
Dann ist [mm] P(\{S\le T'_{n+1}\})=T'_k+P(\{T'_k
[mm] \cap_{i=1}^{n+1} \{X_i=t'_i\}\cap_{i=n+2}^{\infty}\{X_i=0\} [/mm] (entfällt, wenn k=0 ist) und [mm] \Big(\cap_{i=1}^k \{X_i=t'_i\}\cap_{i=k+1}^{n+1}\{X_{i}=0\}\Big)\backslash\Big(\cap_{i=1}^n \{X_i=t'_i\}\cap_{i=n+1}^{\infty}\{X_{n+1}=0\}\Big)
[/mm]
(der erste Schnitt in der ersten großen Klammer entfällt, wenn k=0 ist)
Deswegen ist [mm] P(\{T'_k
Was meinst Du?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mi 09.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Herzlichen Dank, ne hammer Antwort wie immer!!
Ich hab mich nochmal alleine dran gemacht und war am Ende nich ganz glücklich mit meiner Lösung. Ich setz mich morgen vielleicht nochmal dran und versuch dann deinen Lösungsansatz nachzuvollziehn.
Jedenfalls vielen Dank nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> morgen vielleicht nochmal dran und versuch dann deinen
> Lösungsansatz nachzuvollziehn.
Implizit verwende ich den Tipp. Durch die Rechtsstetigkeit reicht es, das W-Maß auf den Intervallen mit entsprechenden Grenzen anzugeben.
LG
gfm
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