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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Massenschwerpunkt
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Massenschwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Fr 23.10.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Berechnen Sie den Massenschwerpunkt eines spiralförmigen, homogenen Seils, das durch

[mm] \gamma(t)=\vektor{e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*sin(t)}, t\in[0,4\pi] [/mm]

parametrisiert wird.

Wo liegt der Schwerpunkt, wenn man die Kurve des Seils [mm] \gamma(t) [/mm] für [mm] t\in[0,\infty) [/mm] betrachtet?

[mm] \gamma'(t)=\vektor{-e^{-t}*sin(t)-e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*cos(t)-e^{-t}*sin(t)}=\vektor{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))\\ e^{-t}(cos(t)-sin(t))} [/mm]

Ich will erstma die Gesamtmasse M bestimmen:

[mm] M=\integral_{\gamma}{\rho dx}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{|\gamma'(t)| dt} [/mm]

[mm] =\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{(-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2+(e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2} dt} [/mm]

Nebenrechnung:

[mm] (-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t)) [/mm]

[mm] (e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2=e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t)) [/mm]


[mm] =\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))} dt} [/mm]

Nebenrechnung:

[mm] e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t)+1-2sin(t)cos(t))=2e^{-2t} [/mm]

[mm] =\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{2e^{-2t}} dt}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{2e^{-t} dt}=\rho[-2e^{-t}]_{0}^{4\pi}\approx2\rho [/mm]

Stimmt die Lösung soweit?

Die massenschwerpunkte hätte ich nun so bestimmt:

[mm] x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* (-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))dt}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))dt} [/mm]

[mm] x_{M,2}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}(cos(t)-sin(t))dt} [/mm]

wäre das richtig?

        
Bezug
Massenschwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Fr 23.10.2015
Autor: MathePower

Hallo Rebellismus,


> Berechnen Sie den Massenschwerpunkt eines spiralförmigen,
> homogenen Seils, das durch
>  
> [mm]\gamma(t)=\vektor{e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*sin(t)}, t\in[0,4\pi][/mm]
>  
> parametrisiert wird.
>  
> Wo liegt der Schwerpunkt, wenn man die Kurve des Seils
> [mm]\gamma(t)[/mm] für [mm]t\in[0,\infty)[/mm] betrachtet?
>  [mm]\gamma'(t)=\vektor{-e^{-t}*sin(t)-e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*cos(t)-e^{-t}*sin(t)}=\vektor{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))\\ e^{-t}(cos(t)-sin(t))}[/mm]
>  
> Ich will erstma die Gesamtmasse M bestimmen:
>  
> [mm]M=\integral_{\gamma}{\rho dx}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{|\gamma'(t)| dt}[/mm]
>  
> [mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{(-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2+(e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2} dt}[/mm]
>  
> Nebenrechnung:
>  
> [mm](-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))[/mm]
>  
> [mm](e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2=e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))[/mm]
>  
>
> [mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))} dt}[/mm]
>  
> Nebenrechnung:
>  
> [mm]e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t)+1-2sin(t)cos(t))=2e^{-2t}[/mm]
>  
> [mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{2e^{-2t}} dt}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{2e^{-t} dt}=\rho[-2e^{-t}]_{0}^{4\pi}\approx2\rho[/mm]
>  


Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:

[mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{2e^{-2t}} dt}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\blue{\wurzel{2}}e^{-t} dt}[/mm]


> Stimmt die Lösung soweit?
>  
> Die massenschwerpunkte hätte ich nun so bestimmt:
>  
> [mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* (-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))dt}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))dt}[/mm]
>  
> [mm]x_{M,2}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}(cos(t)-sin(t))dt}[/mm]
>  


Meines Wissens sind hier folgende Integrale auszuwerten:

[mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]

[mm]x_{M,2}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\sin\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]


> wäre das richtig?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Massenschwerpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Fr 23.10.2015
Autor: Rebellismus

Hallo Mathepower,

[mm] M\approx\wurzel{2}\rho [/mm]



[mm] x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\wurzel{2}e^{-t} \ dt}=\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt} [/mm]


[mm] \bruch{\wurzel{2}\rho}{M}=1 [/mm]

[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt} [/mm]

Und dieses Integral habe ich durch zwei mal partielle integration gelöst:

[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt} [/mm]


[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt} [/mm]

[mm] \bruch{5}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=\bruch{4}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{2}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}=0,4 [/mm]

stimmt die lösung?

Bezug
                        
Bezug
Massenschwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Fr 23.10.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo Mathepower,

>

> [mm]M\approx\wurzel{2}\rho[/mm]

>
>
>

> [mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]

>

> [mm]=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\wurzel{2}e^{-t} \ dt}=\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]

>
>

> [mm]\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}=1[/mm]

>

> [mm]%5Cintegral_%7B0%7D%5E%7B4%5Cpi%7D%7Be%5E%7B-2t%7D*%5Ccos%5Cleft(t%5Cright)%20dt%7D[/mm]

>

> Und dieses Integral habe ich durch zwei mal partielle
> integration gelöst:

Der Ansatz ist korrekt.

>

> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}[/mm]

>

> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]

>
>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]

>

> [mm]\bruch{5}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}[/mm]

>

> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=\bruch{4}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{2}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}=0,4[/mm]

>

> stimmt die lösung?

Irgendwo hat sich da ein Faktor [mm] \frac{4}{5} [/mm] hinzugemogelt, die Funktion [mm] F(x)=\frac{1}{5}\cdot\left(\sin(x)-2\cos(x)\right)\cdot e^{-2x} [/mm] ist eine Stammfunktion zu deiner Funktion [mm] f(x)=\cos(x)\cdot e^{-2x}. [/mm]

Das kann man durch Ableiten unserer beiden Stammfunktionen schön feststellen, deine Stammfunktion bekommt eben den Faktor [mm] \frac{5}{4} [/mm] gegenüber der Ausgangsfunktion hinzu.

Ich sehe den Fehler aber gerade leider nicht.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Massenschwerpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:19 Fr 23.10.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,

> Irgendwo hat sich da ein Faktor [mm]\frac{4}{5}[/mm] hinzugemogelt,
> die Funktion
> [mm]F(x)=\frac{1}{5}\cdot\left(\sin(x)-2\cos(x)\right)\cdot e^{-2x}[/mm]
> ist eine Stammfunktion zu deiner Funktion [mm]f(x)=\cos(x)\cdot e^{-2x}.[/mm]

Wenn ich die Integralgrenzen für F(x) einsetze, bekomme ich dasselbe Ergebnis (0,4).
Bist du sicher das sich ein Faktor hinzugemogelt hat?

Bezug
                        
Bezug
Massenschwerpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 So 25.10.2015
Autor: HJKweseleit


> Hallo Mathepower,
>  
> [mm]M\approx\wurzel{2}\rho[/mm]
>  
>
>
> [mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\wurzel{2}e^{-t} \ dt}=\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>  
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}=1[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>  
> Und dieses Integral habe ich durch zwei mal partielle
> integration gelöst:
>  
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>  
>



[mm]\Rightarrow[/mm]

[mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[\bruch{1}{5}e^{-2t}*(sin(t)-2cos(t))]_{0}^{4\pi}=\bruch{1}{5}e^{-8\pi}*(-2)-\bruch{1}{5}*(-2)=\bruch{2}{5}(1-e^{-8\pi}) [/mm]  für t nach unendlich dann 0,4
  
[mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{5}e^{-2t}*(cos(t)+2sin(t))]_{0}^{4\pi}=-\bruch{1}{5}e^{-8\pi}+\bruch{1}{5}*(1)=\bruch{1}{5}(1-e^{-8\pi}) [/mm] für t nach unendlich dann 0,2

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