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| Aufgabe | Berechnen Sie den Massenschwerpunkt eines spiralförmigen, homogenen Seils, das durch
[mm] \gamma(t)=\vektor{e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*sin(t)}, t\in[0,4\pi]
[/mm]
parametrisiert wird.
Wo liegt der Schwerpunkt, wenn man die Kurve des Seils [mm] \gamma(t) [/mm] für [mm] t\in[0,\infty) [/mm] betrachtet? |
[mm] \gamma'(t)=\vektor{-e^{-t}*sin(t)-e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*cos(t)-e^{-t}*sin(t)}=\vektor{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))\\ e^{-t}(cos(t)-sin(t))}
[/mm]
Ich will erstma die Gesamtmasse M bestimmen:
[mm] M=\integral_{\gamma}{\rho dx}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{|\gamma'(t)| dt}
[/mm]
[mm] =\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{(-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2+(e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2} dt}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] (-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))
[/mm]
[mm] (e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2=e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))
[/mm]
[mm] =\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))} dt}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t)+1-2sin(t)cos(t))=2e^{-2t}
[/mm]
[mm] =\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{2e^{-2t}} dt}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{2e^{-t} dt}=\rho[-2e^{-t}]_{0}^{4\pi}\approx2\rho
[/mm]
Stimmt die Lösung soweit?
Die massenschwerpunkte hätte ich nun so bestimmt:
[mm] x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* (-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))dt}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))dt}
[/mm]
[mm] x_{M,2}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}(cos(t)-sin(t))dt}
[/mm]
wäre das richtig?
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Hallo Rebellismus,
> Berechnen Sie den Massenschwerpunkt eines spiralförmigen,
> homogenen Seils, das durch
>
> [mm]\gamma(t)=\vektor{e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*sin(t)}, t\in[0,4\pi][/mm]
>
> parametrisiert wird.
>
> Wo liegt der Schwerpunkt, wenn man die Kurve des Seils
> [mm]\gamma(t)[/mm] für [mm]t\in[0,\infty)[/mm] betrachtet?
> [mm]\gamma'(t)=\vektor{-e^{-t}*sin(t)-e^{-t}*cos(t) \\ e^{-t}*cos(t)-e^{-t}*sin(t)}=\vektor{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))\\ e^{-t}(cos(t)-sin(t))}[/mm]
>
> Ich will erstma die Gesamtmasse M bestimmen:
>
> [mm]M=\integral_{\gamma}{\rho dx}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{|\gamma'(t)| dt}[/mm]
>
> [mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{(-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2+(e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2} dt}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm](-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))^2=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))[/mm]
>
> [mm](e^{-t}(cos(t)-sin(t)))^2=e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))[/mm]
>
>
> [mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))} dt}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t))+e^{-2t}(1-2sin(t)cos(t))=e^{-2t}(1+2sin(t)cos(t)+1-2sin(t)cos(t))=2e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{2e^{-2t}} dt}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{2e^{-t} dt}=\rho[-2e^{-t}]_{0}^{4\pi}\approx2\rho[/mm]
>
Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm]=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{2e^{-2t}} dt}=\rho\integral_{0}^{4\pi}{\blue{\wurzel{2}}e^{-t} dt}[/mm]
> Stimmt die Lösung soweit?
>
> Die massenschwerpunkte hätte ich nun so bestimmt:
>
> [mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* (-e^{-t}(sin(t)+cos(t)))dt}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{-e^{-t}(sin(t)+cos(t))dt}[/mm]
>
> [mm]x_{M,2}=\bruch{\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}(cos(t)-sin(t))dt}[/mm]
>
Meines Wissens sind hier folgende Integrale auszuwerten:
[mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]
[mm]x_{M,2}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\sin\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]
> wäre das richtig?
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
[mm] M\approx\wurzel{2}\rho
[/mm]
[mm] x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\wurzel{2}e^{-t} \ dt}=\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{2}\rho}{M}=1
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}
[/mm]
Und dieses Integral habe ich durch zwei mal partielle integration gelöst:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=\bruch{4}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{2}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}=0,4
[/mm]
stimmt die lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Fr 23.10.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Mathepower,
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> [mm]M\approx\wurzel{2}\rho[/mm]
>
>
>
> [mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\wurzel{2}e^{-t} \ dt}=\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}=1[/mm]
>
> [mm]%5Cintegral_%7B0%7D%5E%7B4%5Cpi%7D%7Be%5E%7B-2t%7D*%5Ccos%5Cleft(t%5Cright)%20dt%7D[/mm]
>
> Und dieses Integral habe ich durch zwei mal partielle
> integration gelöst:
Der Ansatz ist korrekt.
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{5}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=\bruch{4}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{2}{5}[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}=0,4[/mm]
>
> stimmt die lösung?
Irgendwo hat sich da ein Faktor [mm] \frac{4}{5} [/mm] hinzugemogelt, die Funktion [mm] F(x)=\frac{1}{5}\cdot\left(\sin(x)-2\cos(x)\right)\cdot e^{-2x} [/mm] ist eine Stammfunktion zu deiner Funktion [mm] f(x)=\cos(x)\cdot e^{-2x}.
[/mm]
Das kann man durch Ableiten unserer beiden Stammfunktionen schön feststellen, deine Stammfunktion bekommt eben den Faktor [mm] \frac{5}{4} [/mm] gegenüber der Ausgangsfunktion hinzu.
Ich sehe den Fehler aber gerade leider nicht.
Marius
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Hallo,
> Irgendwo hat sich da ein Faktor [mm]\frac{4}{5}[/mm] hinzugemogelt,
> die Funktion
> [mm]F(x)=\frac{1}{5}\cdot\left(\sin(x)-2\cos(x)\right)\cdot e^{-2x}[/mm]
> ist eine Stammfunktion zu deiner Funktion [mm]f(x)=\cos(x)\cdot e^{-2x}.[/mm]
Wenn ich die Integralgrenzen für F(x) einsetze, bekomme ich dasselbe Ergebnis (0,4).
Bist du sicher das sich ein Faktor hinzugemogelt hat?
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> Hallo Mathepower,
>
> [mm]M\approx\wurzel{2}\rho[/mm]
>
>
>
> [mm]x_{M,1}=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\vmat{\gamma'(t)} \ dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{M}\integral_{0}^{4\pi}{\rho* e^{-t}*\cos\left(t\right)*\wurzel{2}e^{-t} \ dt}=\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\wurzel{2}\rho}{M}=1[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>
> Und dieses Integral habe ich durch zwei mal partielle
> integration gelöst:
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*cos(t)]_{0}^{4\pi}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_{0}^{4\pi}+\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}[/mm]
>
>
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\cos\left(t\right) dt}=[\bruch{1}{5}e^{-2t}*(sin(t)-2cos(t))]_{0}^{4\pi}=\bruch{1}{5}e^{-8\pi}*(-2)-\bruch{1}{5}*(-2)=\bruch{2}{5}(1-e^{-8\pi})
[/mm] für t nach unendlich dann 0,4
[mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}*\sin\left(t\right) dt}=[-\bruch{1}{5}e^{-2t}*(cos(t)+2sin(t))]_{0}^{4\pi}=-\bruch{1}{5}e^{-8\pi}+\bruch{1}{5}*(1)=\bruch{1}{5}(1-e^{-8\pi})
[/mm] für t nach unendlich dann 0,2
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