Massenträgheitsmoment < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Mi 14.01.2009 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | | Ein Vollzylinder hat eine Länge von l = 1m. Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Endpunkt des senkrecht stehenden Vollzylinders beim Umfallen auf den Boden auf? |
Hallo! Ich sitze grad an dieser Aufgabe. Ich glaube auch einigermaßen den Lösungsweg zu kennen, doch habe ich trotzdem noch eine Frage. Also ich fang mal an: Ich rechne das über den Energieerhatungssatz. Die potentielle Energie des Schwerpunktes wird in Rotationsenergie umgewandelt:
[mm] m * g * \bruch{l}{2} = \bruch{1}{2} * J * \omega^{2} [/mm]
Die Geschwindigkeit kann ich später ja aus dem omega ermitteln:
[mm] \omega = \bruch{v}{l^{2}} [/mm]
Nun macht mir nur das Massenträgheitsmoment Sorgen. Bei Wikipedia gibt es zwei Massenträgheitsmomente für Vollzylinder: ![[]](/images/popup.gif) KLICK
Das Erste [mm] J = \bruch{1}{2} * m * r^{2}[/mm] ist glaube ich falsch, da der Zylinder in unserem Fall ja nicht um seine Symmetrieachse rotiert.
Also muss das andere richtig sein: [mm] J = \bruch{1}{4} * m * r^{2} + \bruch{1}{12} * m * l^{2}[/mm]
Doch was ist in diesem Fall für r und l einzusetzen? l werden wohl die 1Meter sein, doch r ist schätze ich der Radius des Zylinders? Den habe ich ja nicht gegeben? Oder bin ich auf einer ganz falschen Pfärte? Ausprobieren kann ich es leider nicht, da ich das richtige Ergebnis nicht kenne ? Da fällt mir auf, eigentlich muss ich ja nur wissen (vorrausgesetzt mein Weg stimmt überhaupt), was für das r aus der Wikipedia Formel einzusetzen ist :) Ich hoffe jemand kann mir helfen! Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. natürlich ist das zweite Trägheitsmoment richtig! aber dazu noch der Steinersche Satz weil der Zyl sich ja nicht um ne Achse durch S dreht. ausserdem liegt am Ende S ja nicht L/2 tiefer! zeichne mal den gefallenen Zylinder! Wenn r zu gross ist kann er nicht so fallen wie du denkst.
schreib eben alles mit r auf, und hoffe, dass es entweder unabh. von r ist oder du kriegst v(r)raus. z.Bsp v=0 für r=L/2!
2. überleg dir, wie schräg das Ding stehen muss, damit es ohne Anfangsgeschw. also ohne Schubs um fällt auch das hängt von r und l ab!
also zeichne mal nen dünnen und nen dicken Zyl von der Seite, damit du das Problem besser durchschaust!
zeichne ihn leicht geneigt und liegend!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Do 15.01.2009 | | Autor: | yildi |
> 1. natürlich ist das zweite Trägheitsmoment richtig! aber
> dazu noch der Steinersche Satz weil der Zyl sich ja nicht
> um ne Achse durch S dreht.
Also erhalte ich für mein gesamtes Trägheitsmoment:
[mm] \bruch{1}{4} \cdot{} m \cdot{} r^{2} + \bruch{1}{12} \cdot{} m \cdot{} l^{2} + m \cdot{} r_{s}^{2} [/mm] wobei [mm] r_{s} = \bruch{l}{2} - r [/mm] ist ?
(l ist die Länge bzw. die Höhe des Zylinders und r der Radius der Grundfläche)
> ausserdem liegt am Ende S ja
> nicht L/2 tiefer!
Was bedeutet das genau für mich bzw. wie muss ich das berücksichtigen?
> 2. überleg dir, wie schräg das Ding stehen muss, damit es
> ohne Anfangsgeschw. also ohne Schubs um fällt auch das
> hängt von r und l ab!
ich glaube das kann in der Aufgabe vernachlässigt werden. Der Zylinder würde von selber ja erst ab einer bestimmten Neigung kippen, bei welcher der Schwerpunkt niedriger liegen würde, sodass auch die potentielle Energie kleiner wäre. Ich glaube das dürfen wir vernachlässigen :)
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Hallo!
> Also erhalte ich für mein gesamtes Trägheitsmoment:
> [mm]\bruch{1}{4} \cdot{} m \cdot{} r^{2} + \bruch{1}{12} \cdot{} m \cdot{} l^{2} + m \cdot{} r_{s}^{2}[/mm]
> wobei [mm]r_{s} = \bruch{l}{2} - r[/mm] ist ?
Nein. Aber du scheinst das richtige zu meinen... Die Drehachse liegt auf der Kante, und die ist nach Pythagoras [mm] r_s^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+r^2 [/mm] vom MIttelpunkt entfernt.
>
> (l ist die Länge bzw. die Höhe des Zylinders und r der
> Radius der Grundfläche)
>
>
> > ausserdem liegt am Ende S ja
> > nicht L/2 tiefer!
>
> Was bedeutet das genau für mich bzw. wie muss ich das
> berücksichtigen?
Nun, der Schwerpunkt hat ja eine Anfangs- und Endhöhe, die Differenz gibt dir die pot. Energiedifferenz, die in Rotationsenergie umgesetzt wurde. Hier gehts nun um die Endhöhe. Der Schwerpunkt kommt nicht auf dem Boden zu liegen, sondern in der Höhe r, weil der Zylinder ja einen nicht zu vernachlässigen Radius hat.
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> > 2. überleg dir, wie schräg das Ding stehen muss, damit es
> > ohne Anfangsgeschw. also ohne Schubs um fällt auch das
> > hängt von r und l ab!
>
> ich glaube das kann in der Aufgabe vernachlässigt werden.
> Der Zylinder würde von selber ja erst ab einer bestimmten
> Neigung kippen, bei welcher der Schwerpunkt niedriger
> liegen würde, sodass auch die potentielle Energie kleiner
> wäre. Ich glaube das dürfen wir vernachlässigen :)
>
Das würde ich so nicht sagen. Der Zylinder kann kippen, sobald der Schwerpunkt genau über der Drehachse liegt. Bis da hin muß er gedrückt werden. Kippt er dann, setzt er auch die beim Drücken aufgewendete Energie in Bewegung um.
Leider scheinst du keinerlei Informationen über r zu besitzen, daher kannst du nicht einfach irgendwas vernachlässigen. Angenommen, 2r=l. Dann ist die Kipplage erreicht, wenn der Schwerpunkt sich in der Höhe [mm] \sqrt{2} [/mm] befindet. Und damit hat der Zylinder auf einmal 41% mehr Energie als im Stand, das kannst du nicht vernachlässigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 15.01.2009 | | Autor: | yildi |
Vielen Dank für Eure Hilfe bislang!! Habe dadurch schon so einiges besser verstanden :) Hab mal eingescannt, was ich nun gerechnet habe, weil mir das ergebnis nämlich nicht so korrekt vorkommt. Das ist nämich von r abhängig. Ich vermute das kann nicht sein, da der Aufgabenteil c) zur gleichen Aufgabe fragt warum eine bestimmte Geschwindigkeit des freien Falls schneller oder langsamer als diese ist...Deshalb muss also ein Zahlenwert herauskommen! Falls jemand nochmal ganz viel Lust hat, würde ich micih freuen, wenn er sich meinen Lösuungsweg nochmal angucken könnte :) Vielen vielen Dank!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du selbst hast geschrieben S liegt nicht am Boden. Dann ist die Abnahme der pot. Energie doch kleiner.
Deine Umformungen hab ich deshalb auch nicht alle durchgesehen. sie müssen falsch sein! denn im Nenner steht [mm] Länge^4 [/mm] im Zähler [mm] Länge^4*Beschl°2 [/mm] d.h.
Geschwindigkeitsquadrat = Beschleuninungsquadrat!
ausserdem [mm] \omega=v/l [/mm] ist falsch. Drehung um den Fusspunkt, wie gezeichnet! was ist dann bei [mm] \omega [/mm] die Geschw. von S und mit der rechnest du ja. dein v ist das des oberen rechten Punktes, das geht aber nicht in die Energie ein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Do 15.01.2009 | | Autor: | yildi |
> Du selbst hast geschrieben S liegt nicht am Boden. Dann
> ist die Abnahme der pot. Energie doch kleiner.
Oh stimmt.. hatte nun nur berücksichtigt, dass der Schwerpunkt schonmal über der Drehachse liegen muss, wenn er zu kippen beginnt. Dann ergibt sich für die potentielle Energie:
[mm] E_{pot} = m * g * h_{pot} [/mm]
[mm] h_{pot} = [/mm] Strecke zwischen Schwerpunkt und Drechachse minus den radius
[mm] h_{pot} = \wurzel{ \bruch{l}{2}^{2} + r^{2} } - r [/mm]
[mm] E_{pot} = m * g * [ \wurzel{ \bruch{l}{2}^{2} + r^{2} } - r ] [/mm]
> ausserdem [mm]\omega=v/l[/mm] ist falsch. Drehung um den Fusspunkt, wie gezeichnet! was ist dann bei [mm]\omega[/mm] die Geschw. von S
> und mit der rechnest du ja. dein v ist das des oberen
> rechten Punktes, das geht aber nicht in die Energie ein!
Hmm stimmt schon, ich rechne mit dem Schwerpunkt. Gefragt ist ja aber die Geschwindigkeit am ende des Zylidners. Soll ich dann erstmal die Geschwindigkeit V des Schwerpunktes ausrechnen und daraus dann am Ende auf die Geschwindigkeit des Zylinderendes schließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine pot. Energie ist jetzt richtig.
statt v würd ich erstmal [mm] \omega [/mm] ausrechnen!
und überprüf deine Rechng nach Dimensionen bzw. Einheiten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 15.01.2009 | | Autor: | yildi |
okay Einheiten stimmen! Auf beiden Seiten steht [mm] \bruch{kg * m^{2}}{s^{^2}} [/mm] Also Joule, wie es sich für Energien gehört. Nun hängt das ganze zwar noch von r ab.. aber das gehört dann wohl so oder?
Muss ich sonst meinen Professor mal fragen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Lösung sieht ja grässlich aus!
warum fasst du das Trägheitsmoment nicht zusammen ? [mm] al^2+br^2
[/mm]
dann sieht das Ergebnis für [mm] \omega^2 [/mm] viel einfacher aus.
Wenn ich mir nen sehr dicken und einen sehr dünnen Zyl. vorstelle denk ich, das muss von r abhängen.
ich hab grad keine Lust, aber stell doch kurz dasselbe für nen echt dünnen Stab (r=0) auf, lös es und vergleich mit deiner Lösung r=0 am Ende eingesetzt.
Gruss leduart
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