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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Massepunkt mit 1-D Bewegung
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Massepunkt mit 1-D Bewegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mo 12.10.2009
Autor: matzekatze

Hi!

Ich muss folgenden DGl lösen:

[mm] x''(t) = \frac{F_{0}}{m} \cdot e^{-\alpha \cdot F_{0} \cdot \left| t\right|} [/mm]

Wie es aussieht muss ich diese DGl so lösen:

Erst homogenen Teil:

[mm] x''(t) = 0 [/mm]

Dann speziellen Teil:

[mm] x'(t) = \int (\frac{F_{0}}{m} \cdot e^{-\alpha \cdot F_{0} \cdot \left| t\right|}) dt [/mm]

Um den Betrag aufzulösen, habe ich mir gedacht, dass ich die Betragsstriche weglasse und erstmal das Integral von 0 bis t berechne. Da die Funktion...

[mm] x''(t) = \frac{F_{0}}{m} \cdot e^{-\alpha \cdot F_{0} \cdot \left| t\right|} [/mm]

... symmetrisch ist, nehme ich vom Ergebnis des Integrals einfach das doppelte.

Kann man das so machen? Mich irritiert besonders der Betrag.

Vielen Dank für eure Hilfe!

LG

Matze


        
Bezug
Massepunkt mit 1-D Bewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:49 Mo 12.10.2009
Autor: fred97


> Hi!
>  
> Ich muss folgenden DGl lösen:
>  
> [mm]x''(t) = \frac{F_{0}}{m} \cdot e^{-\alpha \cdot F_{0} \cdot \left| t\right|}[/mm]
>  
> Wie es aussieht muss ich diese DGl so lösen:
>  
> Erst homogenen Teil:
>
> [mm]x''(t) = 0[/mm]
>  
> Dann speziellen Teil:
>  
> [mm]x'(t) = \int (\frac{F_{0}}{m} \cdot e^{-\alpha \cdot F_{0} \cdot \left| t\right|}) dt [/mm]
>  
> Um den Betrag aufzulösen, habe ich mir gedacht, dass ich
> die Betragsstriche weglasse und erstmal das Integral von 0
> bis t berechne. Da die Funktion...
>  
> [mm]x''(t) = \frac{F_{0}}{m} \cdot e^{-\alpha \cdot F_{0} \cdot \left| t\right|}[/mm]
>  
> ... symmetrisch ist, nehme ich vom Ergebnis des Integrals
> einfach das doppelte.
>  
> Kann man das so machen? Mich irritiert besonders der
> Betrag.
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe!


x'' ist von der Form

              $x''(t) = [mm] ce^{a|t|}$ [/mm]

Durch 2-maliges integrieren sieht man, dass x selbst von der Form

               $x(t) = [mm] \bruch{c}{a^2}e^{at}+c_1t+d_1$ [/mm]   füt t>0

und

               $x(t) = [mm] \bruch{c}{a^2}e^{-at}+c_2t+d_2$ [/mm]   füt t<0

ist. Bestimme nun [mm] c_1,c_2,d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] so, dass x stetig in 0fortsetzbar ist und dass diese Fortsetzung 2 - mal differenzierbar ist.

FRED


>  
> LG
>  
> Matze
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