Maßtheorie, Integral, messbare Funktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 06.07.2004 | | Autor: | mori |
Hallo, also ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:
Gegeben ist ein Maßraum ( [mm] \Omega [/mm] ,A, mü ) und eine Funktion g: ( [mm] \Omega [/mm] ,A) [mm] \to [/mm] ( Abschluß von [mm] \IR [/mm] +, Abschluß von B +). B ist dabei die Borellsche Sigma Algebra.
Es ist z.z.:
a) für alle [mm] \beta \ge [/mm] 0 gilt: mü [g [mm] \ge \beta [/mm] ] [mm] \le 1/(\beta) [/mm] * [mm] \integral_{ \Omega } [/mm] g dmü
b) g integrierbar [mm] \Rightarrow \integral_{[g \ge m]} [/mm] g dmü [mm] \to [/mm] 0 für m [mm] \to \infty
[/mm]
Das war die Aufgabenstellung.
Aus der Vorlesung wissen wir folgendes:
g ist messbar (nach Schreibweise in der Aufgabestellung);
[g [mm] \ge \beta [/mm] ] = { [mm] \omega \in \Omega [/mm] : g( [mm] \omega [/mm] ) [mm] \ge \beta [/mm] };
g integrierbar heißt, das Integral existiert und es ist endlich.
zu Integralen hatten wir auch den Satz von der montotonen Konvergenz.
ich denke man muß in der a wohl das integral der rechten Seite wieder zurückführen auf ein maß . weiß aber noch nicht so richtig wie...
wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Di 06.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mori!
> > Gegeben ist ein Maßraum ( [mm]\Omega[/mm] ,A, mü ) und eine Funktion
> g: ( [mm]\Omega[/mm] ,A) [mm]\to[/mm] ( Abschluß von [mm]\IR[/mm] +, Abschluß von B
> +). B ist dabei die Borellsche Sigma Algebra.
>
> Es ist z.z.:
> a) für alle [mm]\beta \ge[/mm] 0 gilt: mü [g [mm]\ge \beta[/mm] ] [mm]\le 1/(\beta)[/mm]
> * [mm]\integral_{ \Omega }[/mm] g dmü
Hier muss wohl [mm] $\beta>0$ [/mm] hin, nicht [mm] $\beta \ge [/mm] 0$.
Hattet ihr schon die Aussage, dass für eine nichtnegative, [mm] ${\cal A}$-messbare, $\mu$-integrierbare [/mm] Funktion $g [mm] \ge [/mm] 0$ auf [mm] $(\Omega,{\cal A})$ [/mm] durch
(*) [mm] $\nu(A):=\int\limits_A g\, d\mu$
[/mm]
ein endliches Maß auf [mm] $(\Omega,{\cal A})$ [/mm] gegeben wird´(und somit im Falle einer [mm] ${\cal A}$-messbaren, $\mu$-integrierbaren [/mm] Funktion $g$ durch (*) ein signiertes Maß gegeben wird?)
Wenn nein, dann müsstest du das zunächst zeigen (für Teil b)).
Nehmen wir einmal an, wir haben das gezeigt.
Okay, der erste Teil ist dann einfach:
Aus
[mm] $1_{\{g \ge \beta\}} \cdot \beta \le [/mm] g$
folgt sofort durch Integration auf beiden Seiten:
[mm] $\beta \cdot \mu(\{g \ge \beta\}) [/mm] = [mm] \int\limits_{\Omega} 1_{\{g \ge \beta\}} \cdot \beta \, d\mu \le \int\limits_{\Omega} g\, d\mu$.
[/mm]
> b) g integrierbar [mm]\Rightarrow \integral_{[g \ge m]}[/mm] g dmü
> [mm]\to[/mm] 0 für m [mm]\to \infty
[/mm]
Offenbar ist mit den obigen Bezeichnungen
[mm] $\nu(\{g = + \infty\}) [/mm] = [mm] \int\limits_{\{g = + \infty\}} g\, [/mm] d [mm] \mu [/mm] = 0$,
wegen [mm] $\mu(\{g = + \infty\}) [/mm] =0$ (das folgt sofort aus a)!). (Beachte: Ein Integral über eine Nullmenge verschwindet!)
Da das endliche Maß [mm] $\nu$ [/mm] stetig von oben ist, gilt:
[mm] $\lim\limits_{m \to \infty} \nu(\{g \ge m\}) [/mm] = [mm] \nu(\{g = + \infty\}) [/mm] = 0$,
woraus nach Definition von [mm] $\nu$ [/mm] die Behauptung folgt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 07.07.2004 | | Autor: | mori |
hallo stefan,
vielen vielen dank für die antwort!
die 2. lösung für den a) teil finde ich echt genial!
du hast natürlich recht, dass dort [mm] \beta [/mm] > 0 stehen muß!
ich hätte noch eine frage zur 1. lösung für den teil a:
das v(A) ein Maß ist, ist denke ich nicht so schwer zu zeigen. aber warum
ist es ein endliches Maß? wir wissen doch nicht das g integrierbar ist (also das das Integral über g < [mm] \infty [/mm] ), oder? weil wenn wir das nicht wissen, können wir doch auch nicht folgern, dass das Maß v(A) endlich ist, und
dadurch käme man dann bei $ [mm] \nu(\Omega) [/mm] = [mm] \nu(\{g \ge \beta\}) [/mm] + [mm] \nu(\{g < \beta\}) [/mm] $
evtl auf - [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] und das haben wir nicht definiert...
nochmal vielen dank,
ciao mori
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 07.07.2004 | | Autor: | mori |
vielen dank,
jetzt ist mir alles klar,
ciao romy
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
Ich hatte in Erinnerung, dass bereits für a) die Integrierbarkeit von $g$ vorausgesetzt war. Zum Glück habe ich mir noch einen Ersatzbeweis überlegt. 
