Mathematische Beweise an Summe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 27.01.2007 | | Autor: | mzbosse |
| Aufgabe | Gegeben seien die n Merkmalswerte [mm] x_1, x_2, [/mm] ... , [mm] x_n [/mm] . Ihr arithmetisches Mittel ist [mm]\bar x[/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k [/mm] . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) [mm] \summe_{k=1}^{n} (x_k [/mm] - [mm]\bar x[/mm]) = 0
b) [mm] \summe_{k=1}^{n} (x_k [/mm] - [mm]\bar x[/mm][mm] )^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} x_k^2 [/mm] - n[mm]\bar x^2[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{n} (x_k [/mm] - [mm]\alpha[/mm][mm] )^2[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm] \summe_{k=1}^{n} (x_k [/mm] - [mm]\bar x[/mm][mm] )^2 [/mm] |
Aufgabe a) habe ich noch gut geschafft, wäre aber echt für b) und c) für eine Erklärung dankbar.
Bezüglich der Angabe [mm]\bar x[/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k [/mm] hab ich noch eine zusätzliche Frage:
Kann man das wie folgt umformen:
[mm] \bar x = \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} x_k = \bruch{1}{n} * n * x_k = x_k[/mm]
Gruß
Mzbosse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Walde |
hi Mzbosse,
> Gegeben seien die n Merkmalswerte [mm]x_1, x_2,[/mm] ... , [mm]x_n[/mm] . Ihr
> arithmetisches Mittel ist [mm]\bar x[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\bar x[/mm]) = 0
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\bar x[/mm][mm] )^2[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2- n \bar x^2[/mm]
Wende die binomische Formel an, zerlege die Summe in die entstehenden 3 Summanden und betrachte sie einzeln (man kann sie vereinfachen), bedenke dabei, das [mm] \overline{x} [/mm] eine konstante Zahl ist.
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\alpha[/mm][mm] )^2\ge\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\bar x[/mm][mm] )^2[/mm]
Wende wieder binom. Formel für die linke Seite an. Benutzte die Formel aus b) für die rechte Seite. Fasse zusammen soweit es geht. Bring dann alle Terme auf eine Seite und wende wieder eine binomische Formel an (diesmal "rückwärts").
> Aufgabe a) habe ich noch gut geschafft, wäre aber echt für
> b) und c) für eine Erklärung dankbar.
>
> Bezüglich der Angabe [mm]\bar x[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> hab ich noch eine zusätzliche Frage:
>
> Kann man das wie folgt umformen:
>
> [mm]\bar x = \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} x_k = \bruch{1}{n} * n * x_k = x_k[/mm]
Das ist im Allgemeinen falsch. Betrachte das Gegenbeispiel: [mm] x_1=1 x_2=2, [/mm]
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} x_k= \bruch{1}{2}(1+2)=1,5
[/mm]
Das ginge nur, wenn die [mm] x_k [/mm] für alle k dieselbe Zahl wären.
Wenn du nicht alles gleich schaffst (die Tipps waren ja recht allgemein gehalten) schreib mal wie weit du gekommen bist und wo du nicht weiter kommst.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Sa 27.01.2007 | | Autor: | mzbosse |
> hi Mzbosse,
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>
> > Gegeben seien die n Merkmalswerte [mm]x_1, x_2,[/mm] ... , [mm]x_n[/mm] . Ihr
> > arithmetisches Mittel ist [mm]\bar x[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> > . Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
> >
> > a) [mm]\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\bar x[/mm]) = 0
> >
> > b) [mm]\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\bar x[/mm][mm] )^2[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2- n \bar x^2[/mm]
>
> Wende die binomische Formel an, zerlege die Summe in die
> entstehenden 3 Summanden und betrachte sie einzeln (man
> kann sie vereinfachen), bedenke dabei, das [mm]\overline{x}[/mm]
> eine konstante Zahl ist.
>
> >
> > c) [mm]\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm] - [mm]\alpha[/mm][mm] )^2\ge\summe_{k=1}^{n} (x_k[/mm]
> - [mm]\bar x[/mm][mm] )^2[/mm]
>
> Wende wieder binom. Formel für die linke Seite an. Benutzte
> die Formel aus b) für die rechte Seite. Fasse zusammen
> soweit es geht. Bring dann alle Terme auf eine Seite und
> wende wieder eine binomische Formel an (diesmal
> "rückwärts").
>
> > Aufgabe a) habe ich noch gut geschafft, wäre aber echt für
> > b) und c) für eine Erklärung dankbar.
> >
> > Bezüglich der Angabe [mm]\bar x[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> > hab ich noch eine zusätzliche Frage:
> >
> > Kann man das wie folgt umformen:
> >
> > [mm]\bar x = \bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} x_k = \bruch{1}{n} * n * x_k = x_k[/mm]
>
> Das ist im Allgemeinen falsch. Betrachte das
> Gegenbeispiel: [mm]x_1=1 x_2=2,[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n} x_k= \bruch{1}{2}(1+2)=1,5[/mm]
>
> Das ginge nur, wenn die [mm]x_k[/mm] für alle k dieselbe Zahl wären.
>
>
Erstmal vielen Dank für deine liebenswürdige Hilfestellung!
Bezüglich meiner Letzten Frage:
Achso, ist dies der Grund, weshalb ich [mm]\summe_{k=1}^{n} \bar x[/mm] zu [mm] n*\bar x[/mm] umformen kann?
Bezüglich Aufgabe b) bin ich soweit gekommen, indem ich die linke Seite umgeformt habe:
[mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - 2\bar x \summe_{k=1}^{n} x_k + \summe_{k=1}^{n} \bar x^2[/mm]
Leider komme ich hier nich wirklich weiter, mein Ansatz war hier:
[mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - 2\bar x \summe_{k=1}^{n} x_k + n\bar x^2[/mm]
Sieht für mich schon ähnlich aus...
VG mzbosse
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Hallo mzbosse,
> [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - 2\bar x \summe_{k=1}^{n} x_k + n\bar x^2[/mm]
>
> Sieht für mich schon ähnlich aus...
Was du hier brauchst ist eine "produktive Eins" [mm]1 = \tfrac{n}{n}[/mm].  (Reicht das als Tipp? Du brauchst wirklich nur noch einen kleinen Schritt; Wie ist das arithmetische Mittel definiert? Was muß ich tun, damit die Summe passt.)
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 27.01.2007 | | Autor: | mzbosse |
Wahrlich Karl der "Große" als Wirtschaftler hab ichs an sich nicht mit mathematischen Beweisen.
Der Term [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k[/mm] ist ja sozusagen ein "nicht mit [mm]\tfrac{1}{n}[/mm] multipliziertes arithmetisches Mittel,
also [mm] n*\bar x[/mm]
Deshalb würde ich jetzt [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - 2\bar x \summe_{k=1}^{n} x_k + n\bar x^2[/mm] zu
[mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - 2n\bar x^2 + n\bar x^2[/mm]
und schließlich [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - n\bar x^2[/mm]
Hätte jemand noch einen konkreteren Tipp bezüglich der Aufgabe c) hier errechne ich nur Salat, für den ich auch Stunden bräuchte ihn hier einzutippen.
Viele Grüße
mzbosse
> Hallo mzbosse,
>
>
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} x_k^2 - 2\bar x \summe_{k=1}^{n} x_k + n\bar x^2[/mm]
>
> >
> > Sieht für mich schon ähnlich aus...
>
>
> Was du hier brauchst ist eine "produktive Eins" [mm]1 = \tfrac{n}{n}[/mm].
> (Reicht das als Tipp? Du brauchst wirklich nur noch
> einen kleinen Schritt; Wie ist das arithmetische Mittel
> definiert? Was muß ich tun, damit die Summe passt.)
>
>
>
> Grüße
> Karl
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:05 So 28.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi,
also zur c)
zu zeigen war:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(x_k-\alpha)^2\ge\summe_{k=1}^{n}(x_k-\overline{x})^2
[/mm]
für beliebige [mm] \alpha.
[/mm]
betrachten wir die linke Seite. Ahnlich wie in Teil b) ergibt das:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(x_k-\alpha)^2=\summe_{k=1}^{n}(x_k^2-2x_k\alpha+\alpha^2)=\summe_{k=1}^{n}x_k^2-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2
[/mm]
Für die rechte Seite setzten wir exakt Teil b) ein:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(x_k-\overline{x})^2=\summe_{k=1}^{n}x_k^2-n*\overline{x}^2
[/mm]
gezeigt werden muss also
[mm] \summe_{k=1}^{n}x_k^2-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2\ge\summe_{k=1}^{n}x_k^2-n*\overline{x}^2
[/mm]
also
[mm] -2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2\ge-n*\overline{x}^2
[/mm]
bzw.
[mm] n*\overline{x}^2-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2\ge [/mm] 0
Gehe mal von [mm] n\not=0 [/mm] aus (sonst machen die Summenzeichen in der Aufgabenstellung keinen Sinn), teile durch n und wende die 2 binomische Formel an, dann müsstest du erkennen, dass du am Ziel bist.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 28.01.2007 | | Autor: | mzbosse |
Vielen Dank für deine hilfreichen Tipps. Ich habe sie verfolgt und komme auf:
[mm]\overline{x}-2\overline{x}\alpha+\alpha^2 \ge 0[/mm]
daraus habe ich dann gemacht [mm](\overline{x} - \alpha)^2 \ge 0[/mm]
Während der Anwendung deines Lösungsvorschlages ist mir noch etwas eingefallen,
mich würde interessieren, ob es richtig ist:
[mm]\overline{x}-2\overline{x}\alpha+\alpha^2 \ge 0[/mm] lösen nach [mm]\overline{x}.[/mm]
[mm]D = 4*\alpha^2 - 4*1*\alpha^2 = 0[/mm] daraus folgt 1. Lsg. [mm]\overline{x} = \bruch{-(-2*\alpha)+0}{2*1} = \alpha[/mm]
> Hi,
>
> also zur c)
>
> zu zeigen war:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(x_k-\alpha)^2\ge\summe_{k=1}^{n}(x_k-\overline{x})^2[/mm]
>
> für beliebige [mm]\alpha.[/mm]
>
> betrachten wir die linke Seite. Ahnlich wie in Teil b)
> ergibt das:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(x_k-\alpha)^2=\summe_{k=1}^{n}(x_k^2-2x_k\alpha+\alpha^2)=\summe_{k=1}^{n}x_k^2-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2[/mm]
>
> Für die rechte Seite setzten wir exakt Teil b) ein:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(x_k-\overline{x})^2=\summe_{k=1}^{n}x_k^2-n*\overline{x}^2[/mm]
>
> gezeigt werden muss also
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}x_k^2-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2\ge\summe_{k=1}^{n}x_k^2-n*\overline{x}^2[/mm]
>
> also
>
> [mm]-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2\ge-n*\overline{x}^2[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]n*\overline{x}^2-2\alpha*n*\overline{x}+n*\alpha^2\ge[/mm] 0
>
> Gehe mal von [mm]n\not=0[/mm] aus (sonst machen die Summenzeichen in
> der Aufgabenstellung keinen Sinn), teile durch n und wende
> die 2 binomische Formel an, dann müsstest du erkennen, dass
> du am Ziel bist.
>
> L G walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 28.01.2007 | | Autor: | Walde |
Gern geschehen,
> Vielen Dank für deine hilfreichen Tipps. Ich habe sie
> verfolgt und komme auf:
>
> [mm]\overline{x}-2\overline{x}\alpha+\alpha^2 \ge 0[/mm]
> daraus
> habe ich dann gemacht [mm](\overline{x} - \alpha)^2 \ge 0[/mm]
>
Ja genau, und das ist, wie du (hoffentlich) siehst für alle [mm] $\overline{x},\alpha\in\IR$ [/mm] erfüllt.
> Während der Anwendung deines Lösungsvorschlages ist mir
> noch etwas eingefallen,
> mich würde interessieren, ob es richtig ist:
>
> [mm]\overline{x}-2\overline{x}\alpha+\alpha^2 \ge 0[/mm] lösen nach
> [mm]\overline{x}.[/mm]
>
> [mm]D = 4*\alpha^2 - 4*1*\alpha^2 = 0[/mm] daraus folgt 1. Lsg.
> [mm]\overline{x} = \bruch{-(-2*\alpha)+0}{2*1} = \alpha[/mm]
[mm] $\overline{x}=\alpha$ [/mm] ist Lösung von [mm] $\overline{x}-2\overline{x}\alpha+\alpha^2 \red{=}0$ [/mm] das stimmt soweit. (Du hattest ja aber eine Ungleichung, das ist schon ein Unterschied)
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 So 28.01.2007 | | Autor: | mzbosse |
Nochmal vielen Dank. Das Forum ist spitze, wenn auch anfänglich etwas umständlich zu bedienen, was aber letzlich von Vorteil ist, sonst würde man viele Sachen oberflächlich behandeln.
@Walde: Ja, das sehe ich. Mir hat der explizite Beweis für = 0 gefallen, obwohl er überflüssig ist, sofern man den oberen Ausdruck gebildet hat. Ich denke jetzt bin ich da gut für die Klausur vorbereitet.
Gruß
mzbosse
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