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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Di 29.09.2015 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | [mm] $\frac{dx}{dt}=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }x$ [/mm] mit [mm] $x(t_0)=x_0$ [/mm] und [mm] $y(t_0)=y_0$. [/mm] |
Hallo Leute,
würde gerne das mal durchrechnen und ihr sagt mir, wo mein Fehler liegt. In dem Buch steht als Lösung $x(t)=x_0cos(t)+y_0sin(t)$ und $y(t)=-x_0sin(t)+y_0cos(t)$
Ich hab also anfangen und die Eigenwerte der Matrix bestimmen und erhlate das charakteristische Polynom:
[mm] $\lambda^2+1=0$
[/mm]
=> [mm] $\lambda_1=i$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=-i$
[/mm]
Anschließend berechne ich die Eigenvektoren und erhalte zum Eigenwert [mm] $i:\vektor{-i \\ 1}$ [/mm] und zu [mm] $-i:\vektor{i \\ 1}$.
[/mm]
Dies stimmt soweit alles, habe es mir von einem Porgramm nachrechnen lassen, damit erhalte ich als Lösung:
[mm] $x(t)=Aie^{-it}-Bie^{it}$
[/mm]
[mm] $y(t)=Ae^{-it}+Be^{it}$
[/mm]
Als nächstes setze ich meine Anfangswerte ein bestimme mittels Gleichungssystem A und B:
[mm] $x_0=Aie^{-it_0}-Bie^{it_0}$
[/mm]
[mm] $y_0=Ae^{-it_0}+Be^{it_0}$
[/mm]
Wenn ich nun A und B bestimmt habe und einsetze kürzen sich jedes mal die Kosinus und Sinusterme raus und ich erhalte:
[mm] $x(t)=x_0$ [/mm] und [mm] $y(t)=y_0$
[/mm]
Was mir nicht weiterhilft... Wie kommt man auf das Endergebnis im Buch?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Hias |
Hallo,
du hast schon richtig die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Nun kannst du die Matrix diagonalisieren.
Mit [mm] $M=\pmat{ i & -i \\ 1 & 1 }$ [/mm] (Matrix der Eigenvektoren) und [mm] $D=\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }$ [/mm] kannst du also deine Ausgangsmatrix wie folgt darstellen:
[mm] $$\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }=M*D*M^{-1}$$
[/mm]
In Vorlesungen wird normalerweise gezeigt, dass die Lösung deines Problems durch [mm] $$\pmat{x(t) \\ y(t) }=M*exp(D*t)*M^{-1}*\pmat{x_0 \\ y_0 }$$ [/mm]
berechnet wird. Um die Lösung zu berechnen, so wie sie in deinem Buch steht verwende https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel
Kapitel Verwandtschaft zwischen Exponential- und Winkelfunktionen
MfG
Hias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mi 30.09.2015 | | Autor: | AntonK |
Ich habe mittlerweile einen anderen Weg gefunden, indem ich einfach das Matrixexponential dieser Matrix berechen, dort sieht man schnell die Reihendarstelltung des Sinus bzw. Kosinus, aber deine Idee hilft mir den Übergang von beidem zu verstehen, danke dir!
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