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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:50 Sa 07.02.2015 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
hier mal was aus der Theoretischen Physik.
Ich habe einen Dichteoperator (Matrix) [mm] \rho [/mm] gegeben und soll nun den Hamilton-Operator (ebenfalls Matrix) H berechnen.
Gleichung: [mm] \rho=\bruch{1}{Z_{k}}e^{-\beta*H} [/mm] mit [mm] \beta=const [/mm] und [mm] Z_{k} [/mm] als kanonischer Zustandssumme (ebenfalls konstant, wie ich meine).
Ich wollte nun mit den Gesetzen der Matrix-Logarithmierung "ganz einfach" auf H kommen.
[mm] H=-\bruch{1}{\beta} ln(\rho*Z_{k})
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{\beta} (ln(\rho)+ln(Z_{k}))
[/mm]
Kann ich das so machen? Oder muss ich den [mm] ln(Z_{k}*\rho) [/mm] berechnen? Ich dachte, ich kann das so ganz einfach aufspalten, damit die Rechnungen einfacher werden... habe da aber leise Zweifel, weil [mm] Z_{k} [/mm] ja ein Skalar und [mm] \rho [/mm] eine Matrix ist...
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Sa 07.02.2015 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Kann ich das so machen? Oder muss ich den [mm]ln(Z_{k}*\rho)[/mm]
> berechnen? Ich dachte, ich kann das so ganz einfach
> aufspalten, damit die Rechnungen einfacher werden... habe
> da aber leise Zweifel, weil [mm]Z_{k}[/mm] ja ein Skalar und [mm]\rho[/mm]
> eine Matrix ist...
Deine Zweifel sind natürlich ein bißchen berechtigt, weil man eine Zahl und eine nxn-Matrix nicht so einfach adddieren kann. Aber es gilt ja die schöne Gleichheit [mm] $\lambda \cdot$ [/mm] A = [mm] $\lambda E_n \cdot$ [/mm] A.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 07.02.2015 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke für Deine Antwort!
Das bedeutet, [mm] ln(\rho [/mm] * [mm] Z_{k}) =ln(\rho) [/mm] + [mm] ln(Z_{k}*E_{n})?
[/mm]
Kann ich jede Diagonalmatrix einfach logarithmieren, also ist [mm] ln(Z_{k}*E_{2})=\pmat{ ln(Z_{k}) & 0 \\ 0 & ln(Z_{k}) }?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 So 08.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Das bedeutet, [mm]ln(\rho[/mm] * [mm]Z_{k}) =ln(\rho)[/mm] +
> [mm]ln(Z_{k}*E_{n})?[/mm]
> Kann ich jede Diagonalmatrix einfach logarithmieren, also
> ist [mm]ln(Z_{k}*E_{2})=\pmat{ ln(Z_{k}) & 0 \\ 0 & ln(Z_{k}) }?[/mm]
>
Naja, jede nicht, der ln muß dort schon definiert sein.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Einige Anmerkungen:
1. ist A eine (komplexe) $n [mm] \times [/mm] n$- Matrix, so gilt: es ex. eine (komplexe) $n [mm] \times [/mm] n$- Matrix C mit [mm] A=e^C [/mm] genau dann, wenn A invertierbar ist.
2. Die Matrix C in 1. ist nicht eindeutig bestimmt, das bedeutet: aus
[mm] e^C=e^D
[/mm]
folgt i.a. nicht C=D.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Paivren |
Alles klar, vielen Dank Euch beiden :)
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