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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:43 Do 04.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und für i [mm] \in \{0,1,...,n-1 \} [/mm] seien [mm] a_{i} \in [/mm] K.
M: = [mm] ((\summe_{k=1}^{n-1} \delta_{i,k}\delta_{j,k+1}) [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (-a_{k-1} \delta_{i,n}\delta_{j,k}))_{1 \le i,j \le n} [/mm] |
kann mir jemand helfen wie diese matrix aussieht?
gruss,
ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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> Sei K ein Körper, n [mm]\in \IN[/mm] und für i [mm]\in \{0,1,...,n-1 \}[/mm]
> seien [mm]a_{i} \in[/mm] K.
>
> M: = [mm]((\summe_{k=1}^{n-1} \delta_{i,k}\delta_{j,k+1})[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-a_{k-1} \delta_{i,n}\delta_{j,k}))_{1 \le i,j \le n}[/mm]
>
> kann mir jemand helfen wie diese matrix aussieht?
Hallo,
ach Du liebe Zeit!
ich erkenne auch noch nicht, wie die aussieht.
Das Kroneckersymbol ist Dir aber bekannt, ja? Das wäre wichtig.
In solchen Fällen versuche ich mich immer an meinen eigenen Haaren aus dem Sumpf zu ziehen, indem ich mir ein konkretes Beispiel mache.
Hier würde ich mir die Matrix mal für n=2,3,4 aufschreiben, oft sieht man dann ja schon, wie's funktioniert.
Nehmen wir mal n=3.
Wir müssen also M: = [mm]((\summe_{k=1}^{2} \delta_{i,k}\delta_{j,k+1})[/mm] + [mm][mm] \summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \delta_{i,3}\delta_{j,k}))_{1 \le i,j \le 3} [/mm] anschauen.
Gucken wir mal, wie die Elemente der ersten Spalte, die [mm] m_i_1 [/mm] aussehen:
[mm] m_1_1 [/mm] (also i=j=1)
[mm] =(\summe_{k=1}^{2} \delta_{1,k}\delta_{1,k+1}) [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \underbrace{\delta_{1,3}}_{=0}\delta_{1,k})
[/mm]
[mm] =(\summe_{k=1}^{2} \delta_{1,k}\delta_{1,k+1}) [/mm]
[mm] =\delta_{1,1}\delta_{1,2} [/mm] + [mm] \delta_{1,2}\delta_{1,3} [/mm] =0
[mm] m_2_1 [/mm] (also i=2 und j=1)
[mm] =(\summe_{k=1}^{2} \delta_{2,k}\delta_{2,k+1}) [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \delta_{2,3}\delta_{2,k})
[/mm]
[mm] =(\summe_{k=1}^{2} \delta_{2,k}\delta_{2,k+1})
[/mm]
[mm] =\delta_{2,1}\delta_{2,2} [/mm] + [mm] \delta_{2,2}\delta_{2,3} [/mm] =0
[mm] m_3_1 [/mm] (also i=3 und j=1)
[mm] =(\summe_{k=1}^{2} \delta_{3,k}\delta_{1,k+1})+ \summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \delta_{3,3}\delta_{1,k})
[/mm]
[mm] =\delta_{3,1}\delta_{1,2} [/mm] + [mm] \delta_{3,2}\delta_{1,3} [/mm] + [mm] -a_{0} \delta_{3,3}\delta_{1,1} [/mm] + [mm] -a_{1} \delta_{3,3}\delta_{1,2} [/mm] + [mm] -a_{2} \delta_{3,3}\delta_{1,3}
[/mm]
[mm] =-a_{0}
[/mm]
usw.
Die Matrix M scheint also ein ziemlich aufgeblasenes Ding zu sein.
Anschauen mußt Du diese Kroneckersymbolprodukte. Die werden ja in den allermeisten Fallen zu 0, es sei denn, man hat [mm] \delta_2_2*\delta_1_1 [/mm] oder sowas.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:26 Do 04.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > Sei K ein Körper, n [mm]\in \IN[/mm] und für i [mm]\in \{0,1,...,n-1 \}[/mm]
> > seien [mm]a_{i} \in[/mm] K.
> >
> > M: = [mm]((\summe_{k=1}^{n-1} \delta_{i,k}\delta_{j,k+1})[/mm] +
> > [mm]\summe_{k=1}^{n} (-a_{k-1} \delta_{i,n}\delta_{j,k}))_{1 \le i,j \le n}[/mm]
>
> >
> > kann mir jemand helfen wie diese matrix aussieht?
>
> Hallo,
>
> ach Du liebe Zeit!
Genau auch meine Reaktion
>
> ich erkenne auch noch nicht, wie die aussieht.
>
> Das Kroneckersymbol ist Dir aber bekannt, ja? Das wäre
> wichtig.
Genau, das kenne ich!
>
> In solchen Fällen versuche ich mich immer an meinen eigenen
> Haaren aus dem Sumpf zu ziehen, indem ich mir ein konkretes
> Beispiel mache.
Das habe ich eben bereits auch schon versucht, und bin dann an meine Grenze gestossen mit den vielen Indizes. Aber Danke für dein Beispiel, dass hilft weiter....
Oje oje...das wird wohl wirklich eine bombastische Matrix. Danach darf ich dann noch das charakteristische Polynom berechen. Darfst mir also ganz viel Spass wünschen 
Lg
>
> Hier würde ich mir die Matrix mal für n=2,3,4 aufschreiben,
> oft sieht man dann ja schon, wie's funktioniert.
>
> Nehmen wir mal n=3.
>
> Wir müssen also M: = [mm]((\summe_{k=1}^{2} \delta_{i,k}\delta_{j,k+1})[/mm]
> + [mm][mm]\summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \delta_{i,3}\delta_{j,k}))_{1 \le i,j \le 3}[/mm] anschauen.
Gucken wir mal, wie die Elemente der ersten Spalte, die [mm]m_i_1[/mm] aussehen:
[mm]m_1_1[/mm] (also i=j=1)
[mm]=(\summe_{k=1}^{2} \delta_{1,k}\delta_{1,k+1})[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \underbrace{\delta_{1,3}}_{=0}\delta_{1,k})[/mm]
[mm]=(\summe_{k=1}^{2} \delta_{1,k}\delta_{1,k+1})[/mm]
[mm]=\delta_{1,1}\delta_{1,2}[/mm] + [mm]\delta_{1,2}\delta_{1,3}[/mm] =0
[mm]m_2_1[/mm] (also i=2 und j=1)
[mm]=(\summe_{k=1}^{2} \delta_{2,k}\delta_{2,k+1})[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \delta_{2,3}\delta_{2,k})[/mm]
[mm]=(\summe_{k=1}^{2} \delta_{2,k}\delta_{2,k+1})[/mm]
[mm]=\delta_{2,1}\delta_{2,2}[/mm] + [mm]\delta_{2,2}\delta_{2,3}[/mm] =0
[mm]m_3_1[/mm] (also i=3 und j=1)
[mm]=(\summe_{k=1}^{2} \delta_{3,k}\delta_{1,k+1})+ \summe_{k=1}^{3} (-a_{k-1} \delta_{3,3}\delta_{1,k})[/mm]
[mm]=\delta_{3,1}\delta_{1,2}[/mm] + [mm]\delta_{3,2}\delta_{1,3}[/mm] + [mm]-a_{0} \delta_{3,3}\delta_{1,1}[/mm] + [mm]-a_{1} \delta_{3,3}\delta_{1,2}[/mm] + [mm]-a_{2} \delta_{3,3}\delta_{1,3}[/mm]
[mm]=-a_{0}[/mm]
usw.
Die Matrix M scheint also ein ziemlich aufgeblasenes Ding zu sein.
Anschauen mußt Du diese Kroneckersymbolprodukte. Die werden ja in den allermeisten Fallen zu 0, es sei denn, man hat [mm]\delta_2_2*\delta_1_1[/mm] oder sowas.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 04.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
siehtst du das auch so, dass das immer eine quadratische matrix n [mm] \times [/mm] n ist?
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> siehtst du das auch so, dass das immer eine quadratische
> matrix n [mm]\times[/mm] n ist?
Hallo,
ja, da hatte ich zuvor nachgeguckt:
Dort, wo M definiert ist, steht ja als Index [mm] 1\le i,j\le [/mm] n (oder so ähnlich), was bedeutet, das i und j beide Werte zwischen 1 und n annehmen. Also quadratisch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 04.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > siehtst du das auch so, dass das immer eine quadratische
> > matrix n [mm]\times[/mm] n ist?
>
> Hallo,
>
> ja, da hatte ich zuvor nachgeguckt:
>
> Dort, wo M definiert ist, steht ja als Index [mm]1\le i,j\le[/mm] n
> (oder so ähnlich), was bedeutet, das i und j beide Werte
> zwischen 1 und n annehmen. Also quadratisch.
>
> Gruß v. Angela
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Stimmt..... besten dank für deine hilfe....denke ich hab diese aufgabe schon gelöst....sobald noch mein induktionsbeweis steht 
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